Question

如圖已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（-3，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，0）．問：直線AC上是否存在點(diǎn)F，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可得出a、b的值，繼而得出拋物線的解析式；
（2）先確定直線AC的解析式，若△ODF是等腰三角形，在本題中只有兩種情況，①PD=PO，②OD=OP，分別確定點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）將點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（-3，0）代入拋物線解析式可得：

a+b+3=0 9a-3b+3=0

，
解得：

a=-1 b=-2

，
故所求拋物線解析式為：y=-x²-2x+3．

（2）存在符合條件的點(diǎn)P，

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m，
將點(diǎn)A及點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可得：

k+m=0 m=3

，
解得：

k=-3 m=3

，
故直線AC的解析式為y=-3x+3，
①當(dāng)PD=PO時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P位于P₁的位置，很明顯P₁的坐標(biāo)為（-1，6）；
②當(dāng)OD=OP時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P的一個(gè)位置為P₂，
設(shè)P₂的坐標(biāo)為（x，-3x+3），
∵OD=OP=2，
∴

x2+(-3x+3)2

=2，
解得：x₁=

18+ 31

10

，x₂=

18- 31

10

，
很明顯此時(shí)P的坐標(biāo)為（

18+ 31

10

，

-54- 31

10

）或（

18- 31

10

，

-54+3 31

10

）．
綜上可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，6）或（

18+ 31

10

，

-54- 31

10

）或（

18- 31

10

，

-54+3 31

10

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，第一問比較簡單，利用待定系數(shù)法求解即可，難點(diǎn)在第二問，第二問關(guān)鍵是分類討論，在求解點(diǎn)P的坐標(biāo)的時(shí)候要求我們結(jié)合圖形進(jìn)行解答．