Question

（2011•玉溪一模）點(diǎn)P為拋物線y=x²-2mx+m²（m為常數(shù)，m＞0）上任一點(diǎn)，將拋物線繞頂點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的新圖象與y軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方），點(diǎn)Q為點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)m=2，點(diǎn)P橫坐標(biāo)為4時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)Q（a，b），用含m、b的代數(shù)式表示a；
（3）如圖，點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)，點(diǎn)D在x軸的正半軸上，點(diǎn)C為OD的中點(diǎn)，QO平分∠AQC，AQ=2QC，當(dāng)QD=m時(shí)，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據(jù)m的值確定出原拋物線的解析式，進(jìn)而可求得P、G的坐標(biāo)，過(guò)P作PE⊥x軸于E，過(guò)Q作QF⊥x軸于F，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：△GQF≌△PGE，則QF=GE、PE=GF，可據(jù)此求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（2）已知了Q點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到QF、FG的長(zhǎng)，仿照（1）的方法可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后代入原拋物線的解析式中，可求得a、b、m的關(guān)系式．
（3）延長(zhǎng)QC到E，使得QC=CE，那么AQ=QE；由于OD、QE互相平分，即四邊形OEDQ是平行四邊形（或證△QCD≌△ECO），那么QD=OE=m，而AQ=QE，且QO平分∠AQC，易證得△AQO≌△EQO，則OA=OE=m，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m），然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入（2）的關(guān)系式中，即可求得m的值．
解答：解：（1）當(dāng)m=2時(shí)，y=（x-2）²，
則G（2，0），
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，且P在拋物線上，
∴將x=4代入拋物線解析式得：y=（4-2）²=4，
∴P（4，4），（1分）
如圖，連接QG、PG，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥x軸于F，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，
依題意，可得△GQF≌△PGE；
則FQ=EG=2，F(xiàn)G=EP=4，
∴FO=2．
∴Q（-2，2）．（2分）


（2）已知Q（a，b），則GE=QF=b，F(xiàn)G=m-a；
由（1）知：PE=FG=m-a，GE=QF=b，即P（m+b，m-a），
代入原拋物線的解析式中，得：m-a=（m+b）²-2m（m+b）+m²
m-a=m²+b²+2mb-2m²-2mb+m²
a=m-b²，
故用含m，b的代數(shù)式表示a：a=m-b²．（4分）

（3）如圖，延長(zhǎng)QC到點(diǎn)E，使CE=CQ，連接OE；
∵C為OD中點(diǎn)，
∴OC=CD，
∵∠ECO=∠QCD，
∴△ECO≌△QCD，
∴OE=DQ=m；（5分）
∵AQ=2QC，
∴AQ=QE，
∵QO平分∠AQC，
∴∠1=∠2，
∴△AQO≌△EQO，（6分）
∴AO=EO=m，
∴A（0，m），（7分）
∵A（0，m）在新的函數(shù)圖象上，
∴0=m-m²
∴m₁=1，m₂=0（舍），
∴m=1．（8分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)意義等知識(shí)，難度較大．