Question

【題目】 在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，點(diǎn)M，N分別是邊AB，BC上的動點(diǎn)，△BMN與△B′MN關(guān)于直線MN對稱，點(diǎn)B的對稱點(diǎn)為B′．

（1）如圖1，當(dāng)B′在邊AC上時，若∠CNB′=25°，求∠AMB′的度數(shù)；

（2）如圖2，當(dāng)∠BMB′=30°且CN=MN時，若CMBC=2，求△AMC的面積；

（3）如圖3，當(dāng)M是AB邊上的中點(diǎn)，B′N交AC于點(diǎn)D，若B′N∥AB，求證：B′D=CN．

Answer 1

【答案】（1）65°；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）由△MNB′是由△MNB翻折得到，推出∠B=∠MB′N=45°，∠MNB=∠MNB′=(180°-25°)=77.5°，推出∠NMB=∠NMB′=57.5°，可得∠BMB°=115°解決問題．

（2）如圖2，作MH⊥AC于H．首先證明，推出S△ACM=即可解決問題．

（3）如圖3，設(shè)AM=BM=a，則AC=BC=a．通過計算證明CN=DB′即可．

（1）如圖，

∵∠C=90°，CA=CB，

∴∠A=∠B=45°，

∵△MNB′是由△MNB翻折得到，

∴∠B=∠MB′N =45°，∠MNB=∠MNB′=(180°-25°)=77.5°，

∴∠NMB=∠NMB′=57.5°，

∴∠BM B′=115°，

∴∠AMB′=180°-115°=65°；

（2）∵△MNB′是由△MNB翻折得到，∠BMB′=30°，

∴∠BMN=∠NMB′=15°，

∵∠B=45°，

∴∠CNM=∠B+∠NMB=60°，

∵CN=MN，

∴△CMN是等邊三角形，

∴∠MCN=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACM=30°，

如圖，作MH⊥AC于H．

∴∠MHC=90°，

∴MH=CM，

∵S△ACM=ACMH=BCCM=CMBC=；

（3）如圖，設(shè)AM=BM=a，則AC=BC=a．

∵NB′∥AB，

∴∠CND=∠B=45°，∠MND=∠NMB，

∵∠MNB=∠MND，

∴∠NMB =∠MNB，

∴MB=BN=a，

∴CN=a-a，

∵∠C=90°，

∴∠CDN=∠CND=45°，

∴CD=CN，

∵CA=CB，

∴AD=BN=a，

設(shè)AD交MB′于點(diǎn)O，

∵MB=BN，∠B=45°，

∴∠BMN=，

∵△MNB′是由△MNB翻折得到，

∴∠BMN=∠NMB′=，

∴∠AMO=180∠BMN∠NMB′=180，

∴是等腰直角三角形，且AM=a，

∴AO=OM=a，OB′=OD=a-a，

∴DB′=OD=a-a，

∴B′D=CN．