Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以C為圓心的圓切AB于點D，交AC于點E，過點E作AB的垂線，垂足為H，HE交BC的延長線于點G，已知∠A=α，AE=m，則EG=

 

（用含α，m的式子表示）．

Answer 1

分析：連接CD，由于AB切⊙C于D，則CD⊥AB，CD∥EH，可證得△AEH∽△ACD，可用CE表示出CD、AC，根據(jù)相似三角形所得比例線段，即可求得CE的表達式，從而在Rt△CGE中，求出EG的長．

解答：解：連接CD；
∵AB切⊙C于D，
∴CD⊥AB，CD∥EH；
∴△AEH∽△ACD，得

EH

CD

=

AE

AC

；
設(shè)CE=CD=x，則AC=AE+EC=m+x，
∴

m•sinα

x

=

m

m+x

，即x=

m•sinα

1-sinα

；
在Rt△CEG中，∠G=∠A=α，則：
EG=

EC

sinα

=

m•sinα 1-sinα

sinα

=

m

1-sinα

．

點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)以及相似三角形的性質(zhì)，能夠構(gòu)造相似三角形并得到EC的表達式是解答此題的關(guān)鍵．