Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3，AD=1，∠B=45°，直角三角板含45°角的頂點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)，一直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，斜邊與CD交于點(diǎn)F．①當(dāng)AB=BE時(shí)，CF=

 

；②AB=AE時(shí)，CF=

 

；③EA=EB時(shí)，CF=

 

．

Answer 1

分析：平移一腰，根據(jù)等腰梯形上下底邊的長(zhǎng)度及底角度數(shù)求出腰長(zhǎng)．①當(dāng)AB=BE時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)先求出∠BEA的度數(shù)，再由平角的定義，等腰梯形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠FEC與∠CFE的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的判定得出CF=CE；②當(dāng)AB=AE時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BEA=∠B=45°，△ABE是等腰直角三角形，求出BE的長(zhǎng)，則CE=BC-BE，再證△CEF是等腰直角三角形，從而得出CF=

2

CE；③EA=EB時(shí)，先證△ABE是等腰直角三角形，得出BE=

2

2

AB=1，則CE=BC-BE=2，再證點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，△CDE是等腰直角三角形，從而得出CF=

2

2

CE．

解答：解：過(guò)點(diǎn)D作DM∥AB交BC于M，得到?ABDM和等腰△DMC．
∴BM=AD=1，CM=BC-BM=3-1=2．
在△DMC中，∠DMC=∠C=∠B=45°，
∴∠MDC=90°，
∴△MDC是等腰直角三角形．
∴CD=DM=

2

2

CM=

2

，
∴AB=

2

．

①當(dāng)AB=BE=

2

時(shí)，
∵∠B=45°，
∴∠BEA=67.5°，
∴∠FEC=180°-∠BEA-∠AEF=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴CF=CE=BC-BE=3-

2

；

②當(dāng)AB=AE=

2

時(shí)，
∵∠B=45°，
∴∠BEA=45°，∠BAE=90°，
∴BE=

2

AB=2，
∴CE=BC-BE=3-2=1．
又∵∠FEC=180°-∠BEA-∠AEF=180°-45°-45°=90°，∠C=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CF=

2

CE=

2

；

③當(dāng)EA=EB時(shí)，
∵∠B=45°，
∴∠BAE=∠B=45°，∠BEA=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AE=

2

2

AB=1．
∵AD=1，∠DAE=90°，∠AED=∠AEF=45°，
∴點(diǎn)D與點(diǎn)F重合．
在△CDE中，∠C=∠CED=45°，CE=BC-BE=3-1=2，
∴CF=

2

2

CE=

2

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點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰三角形、等腰梯形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)和判定．