Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，且CD＝CB，∠ABC＋∠ADC＝180°.求證：AE＝(AB＋AD)．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：過C作CM⊥AD于M，于是得到△MAC≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=AE，證Rt△DMC≌Rt△BEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=DM，求出AB+AD=AE+BE+AD=AE+DM+AD=2AM=2AE，即可得出答案．．

試題解析：證明：過C作CM⊥AD于M，

∵CE⊥AB，

∴∠M=∠CEB=90°，

∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠MDC=180°，

∴∠B=∠MDC，

∵AC平分∠BAD，CM⊥AD，CE⊥AB，

∴CM=CE，∠MAC=∠EAC，

在△MAC和△EAC中，

，

∴△MAC≌△EAC(AAS)，

∴AM=AE，

∵∠M=∠BEC=90°，

∴在Rt△DMC和Rt△BEC中，，

∴Rt△DMC≌Rt△BEC(HL)，

∴BE=DM，

∴AB+AD=AE+BE+AD=AE+DM+AD=2AM=2AE，

即AE=(AB+AD).