Question

如圖，△內(nèi)接于⊙，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，sinB＝,∠CAD＝30°⑴求證:是⊙的切線(xiàn)；⑵若,求的長(zhǎng)。

【解析】（1）連接OA，由于sinB=，那么可求∠B=30°，利用圓周角定理可求∠AOC=60°，而OA=OB，那么△AOC是等邊三角形，從而有∠OAC=60°，易求∠OAD=90°，即AD是⊙O的切線(xiàn)；

（2）由于OC⊥AB，OC是半徑，利用垂徑定理可知OC是AB的垂直平分線(xiàn)，那么CA=CB，而∠B=30°，則∠BAC=30°，于是有∠DAE=60°，∠D=30°，在Rt△ACE中，利用三角函數(shù)值可求AE，在Rt△ADE中利用30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可求AD．

 

Answer 1

（1）是⊙的切線(xiàn)

（1）證明：如圖，連接OA

∵sinB=  ∴∠B=30°∴∠AOC=60°.

又OA=OC    ∴△AOC為等邊三角形，∴∠OAC=60°.

又∠CAD=30°, ∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=60°+30°=90°

∴OA⊥AD , ∴AD是⊙O的切線(xiàn)�！�………………4分

（2）∵OD⊥AB,  ∴=  ∴AC=BC=5

由（1）知：OA=AC, ∴OA=5………………………6分

在RT△OAD中, tan∠AOD= ,

∴AD=OA ·tan∠AOD=5 ·tan60°=5……………8分