Question

（2008•衡陽）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形ABC的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，0），B（2，），CD為△ABC的中線，⊙M與△ACD的外接圓，BC交⊙M于點(diǎn)N．
（1）將直線AB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得到的直線l與⊙M相切，求此時(shí)的旋轉(zhuǎn)角及直線l的解析式；
（2）連接MN，試判斷MN與CD是否互相垂直平分，并說明理由；
（3）在（1）中的直線l上是否存在點(diǎn)P，使△PAN為直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（圖2為備用圖）

Answer 1

【答案】分析：（1）相切時(shí)∠MDA=90°，原來是60°，所以應(yīng)是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了30°，根據(jù)CD⊥等邊三角形的一邊，可得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)應(yīng)是點(diǎn)B的縱坐標(biāo)的一半；橫坐標(biāo)應(yīng)是點(diǎn)A的橫坐標(biāo)加上A，B橫坐標(biāo)之差的一半．逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后，可設(shè)直線與x的交點(diǎn)為P，那么PA=AD=1，則P（0，0），設(shè)出正比例函數(shù)解析式，把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入即可求得解析式；
（2）易得∠ANC=90°，那么AN=NC，AM=MC，可得MN∥AB，那么MN⊥CD，易得△MNC是等邊三角形，利用得到的垂直，那么可利用全等證得MN被CD平分，繼而推出所求結(jié)論；
（3）△PAN為直角三角形，那么有可能點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)，還有可能是點(diǎn)A是直角頂點(diǎn)及點(diǎn)N的直角頂點(diǎn)．應(yīng)分三種情況探討．注意使用特殊的三角函數(shù)和勾股定理求解．
解答：解：（1）連接MD，則∠MDA=60度，當(dāng)AB繞點(diǎn)D，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得到的直線l與圓M相切時(shí)，DM⊥AB，∠MDA=90度，所以，此時(shí)的旋轉(zhuǎn)角是順時(shí)針30度．未旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)D坐標(biāo)（1.5，），可設(shè)直線與x的交點(diǎn)為P，那么PA=AD=1，則P（0，0），設(shè)出正比例函數(shù)解析式為y=kx，過點(diǎn)D，所以l的解析式為：y=x；

（2）MN⊥CD，且與CD互相垂直平分，因?yàn)辄c(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，MN是中位線，有CD⊥AB，MN∥AB，所以MN⊥CD，同時(shí)MN平分CD，同時(shí)利用MN連線與CD的交點(diǎn)及點(diǎn)C組成的兩個三角形全等，得出CD也平分了MN；

（3）第1種情況：PA⊥AN，P（，）；
第2種情況：PN⊥AN，P（，）；
第3種情況：PA⊥PN，以AN為直徑的圓與直線l的交點(diǎn)有2個，
AN=，
設(shè)直線l上的點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，x），則PA²+PN²=AN²=3，
N點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
（x-1）²+（x）²+（x-）²+（x-）²=3，
解得x=，這是P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)是x．
點(diǎn)評：求直線解析式，應(yīng)得到相應(yīng)的兩個點(diǎn)的坐標(biāo)；有2個以上中點(diǎn)時(shí)，應(yīng)考慮使用三角形的中位線定理．