Question

如圖，點(diǎn)A（m，m+1），B（m+1，2m-3）都在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上．
（1）求m，k的值；  
（2）如果M為x軸上一點(diǎn)，N為y軸上一點(diǎn)，以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求直線MN的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）利用兩點(diǎn)都在圓上，均滿(mǎn)足反比例函數(shù)的解析式即可求列出有關(guān)m的方程，然后求得m的值即可求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得比例系數(shù)k；
（2）分當(dāng)M點(diǎn)在x軸的正半軸上，N點(diǎn)在y軸的正半軸上時(shí)和當(dāng)M點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，N點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上時(shí)兩種情況分類(lèi)討論即可；

解答：解：（1）由題意可知，m（m+1）=（m+1）（2m-3）
解得 m₁=3，m₂=-1（舍去）
∴A（3，4），B（4，3）；
∴k=4×3=12．  

（2）存在兩種情況，如圖：

①當(dāng)M點(diǎn)在x軸的正半軸上，N點(diǎn)在y軸的正半軸
上時(shí)，設(shè)M₁點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，0），N₁點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y₁）．
∵四邊形AN₁M₁B為平行四邊形，
∴線段N₁M₁可看作由線段AB向左平移3個(gè)單位，
再向下平移3個(gè)單位得到的（也可看作向下平移3個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位得到的）．
由（1）知A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），
∴N₁點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
M₁點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．      
設(shè)直線M₁N₁的函數(shù)表達(dá)式為y=k₁x+1，把x=1，y=0代入，解得k₁=-1．
∴直線M₁N₁的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+1．
②當(dāng)M點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，N點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)M₂點(diǎn)坐標(biāo)為（x₂，0），N₂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y₂）．
∵AB∥N₁M₁，AB∥M₂N₂，AB=N₁M₁，AB=M₂N₂，
∴N₁M₁∥M₂N₂，N₁M₁=M₂N₂．
∴線段M₂N₂與線段N₁M₁關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)．
∴M₂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），N₂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1）．
設(shè)直線M₂N₂的函數(shù)表達(dá)式為y=k₂x-1，把x=-1，y=0代入，解得k₂=-1，
∴直線M₂N₂的函數(shù)表達(dá)式為y=-x-1． 
所以，直線MN的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+1或y=-x-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識(shí)，過(guò)某個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)適合這個(gè)函數(shù)解析式．平行四邊形從動(dòng)態(tài)來(lái)看也可以是由一條線段平移得到的．