Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（﹣1，0），與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，連接BC、AC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積等于△ABC的面積的倍？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）如圖2，直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)K，將直線AC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α°，直線AC在旋轉(zhuǎn)過程中的對(duì)應(yīng)直線A′C與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M．求在旋轉(zhuǎn)過程中△MCK為等腰三角形時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣；（2）存在符合條件的點(diǎn)P，且坐標(biāo)為（，）、（，）、（1，﹣）、（2，﹣）；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，﹣）或（1，﹣）．

【解析】

（1）知道A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)后，利用待定系數(shù)法可確定該拋物線的解析式．（2）此題中，以A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形可分作兩部分，若該四邊形的面積是△ABC面積的1.5倍，那么四邊形中除△ABC以外部分的面積應(yīng)是△ABC面積的一半，分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，△ABP的面積應(yīng)該是△ABC面積的一半，因此點(diǎn)P的縱坐標(biāo)應(yīng)該是點(diǎn)C縱坐標(biāo)絕對(duì)值的一半，代入拋物線解析式中即可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)P在B、C段時(shí)，顯然△BPC的面積要遠(yuǎn)小于△ABC面積的一半，此種情況不予考慮；③當(dāng)點(diǎn)P在A、C段時(shí)，由A、C的長(zhǎng)以及△ACP的面積可求出點(diǎn)P到直線AC的距離，首先在射線CK上取線段CD，使得CD的長(zhǎng)等于點(diǎn)P到直線AC的距離，先求出過點(diǎn)D且平行于l1的直線解析式，這條直線與拋物線的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)P．（3）從題干的旋轉(zhuǎn)條件來(lái)看，直線l1旋轉(zhuǎn)的范圍應(yīng)該是直線AC、直線BC中間的部分，而△MCK的腰和底并不明確，所以分情況討論：①CK＝CM、②KC＝KM、③MC＝MK；求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解：（1）如圖1，

∵點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（﹣1，0），

∴，解得，

則該拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣；

（2）易知OA＝3、OB＝1、OC＝，則：S△ABC＝ABOC＝×4×＝2．

①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，由題意知：S△ABP＝S△ABC，則：

點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸距離的一半，即 點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為；

令y＝x2﹣x﹣＝，化簡(jiǎn)得：2x2﹣4x﹣9＝0

解得 x＝；

∴P1（，）、P2（，）；

②當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的B、C段時(shí)，顯然△BCP的面積要小于S△ABC，此種情況不合題意；

③當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的A、C段時(shí)，S△ACP＝ACh＝S△ABC＝，則h＝1；

在射線CK上取點(diǎn)D，使得CD＝h＝1，過點(diǎn)D作直線DE∥AC，交y軸于點(diǎn)E，

如圖2；

在Rt△CDE中，∠ECD＝∠BCO＝30°，CD＝1，則CE＝、OE＝OC+CE＝ ，點(diǎn)E（0，﹣）

∴直線DE：y＝x﹣，聯(lián)立拋物線的解析式，有：，

解得： 或，

∴P3（1，-）、P4（2，-）；

綜上，存在符合條件的點(diǎn)P，坐標(biāo)為（，），（，），（1，-），（2，-）；

（3）如圖3，

由（1）知：y＝x2-x-＝（x﹣1）2﹣，

∴拋物線的對(duì)稱軸 x＝1；

①當(dāng)KC＝KM時(shí)，點(diǎn)C、M1關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x＝1對(duì)稱，則點(diǎn)M1的坐標(biāo)是（2，﹣）；

②KC＝CM時(shí)，K（1，﹣2），KC＝BC．則直線A′C與拋物線的另一交點(diǎn)M2與點(diǎn)B重合，M、C、K三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成三角形；

③當(dāng)MK＝MC時(shí)，點(diǎn)D是CK的中點(diǎn)．

∵∠OCA＝60°，∠BCO＝30°，

∴∠BCA＝90°，即BC⊥AC，則作線段KC的中垂線必平行AC且過點(diǎn)D，

∴點(diǎn)M3與點(diǎn)P3（1，-）、P4（2，-）重合，

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，﹣）或（1，﹣）．