Question

在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AC的中點(diǎn)O處，將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AB，BC或其延長(zhǎng)線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，如圖（1）與（2）是旋轉(zhuǎn)三角板所得圖形的兩種情況．
（1）三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，△OFC是否能成為等腰直角三角形？若能，指出所有情況（即給出△OFC是等腰直角三角形時(shí)BF的長(zhǎng)）；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，線段OE和OF之間有什么數(shù)量關(guān)系？用圖（1）或（2）加以證明；
（3）若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊上的點(diǎn)P處（如圖（3）），當(dāng)AP：AC=1：4時(shí)，PE和PF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，①當(dāng)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，由AB=BC=5，可以推出CF和OF的長(zhǎng)度，即可推出BF的長(zhǎng)度，②當(dāng)B與F重合時(shí)，③當(dāng)OC=FC時(shí)，根據(jù)直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，即可推出OF的長(zhǎng)度，即可推出BF的長(zhǎng)度；
（2）連接OB，由已知條件推出△OEB≌△OFC，即可推出OE=OF；
（3）過點(diǎn)P做PM⊥AB，PN⊥BC，結(jié)合圖形推出△PNF∽△PME，△APM∽△PNC，繼而推出PM：PN=PE：PF，PM：PN=AP：PC，根據(jù)已知條件即可推出PA：AC=1：4得出PE：PF=1：3．

解答：解：（1）△OFC是能成為等腰直角三角形，
①當(dāng)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，
∵O點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，
∴OF∥AB，
∴CF=OF=

1

2

AB=

5

2

，
∵AB=BC=5，
∴BF=

5

2

，
②當(dāng)B與F重合時(shí)，
∵OF=OC=

5

2

2

，
∴BF=0；

（2）如圖1，連接OB，
∵由（1）的結(jié)論可知，BO=OC=

5

2

2

，
∵∠EOB=∠FOC，∠EBO=∠C，
∴△OEB≌△OFC，
∴OE=OF．

（3）如圖3，過點(diǎn)P作PM⊥AB，PN⊥BC，
∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°，
∴∠EPM=∠FPN，
∵∠AMP=∠FNP=90°，
∴△PNF∽△PME，
∴PM：PN=PE：PF，
∵△APM和△PNC為等腰直角三角形
∴△APM∽△PNC，
∴PM：PN=AP：PC，
∵PA：AC=1：4，
∴PE：PF=1：3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于作好輔助線，構(gòu)建相似三角形和全等的三角形．