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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】如圖所示,點A為半圓O直徑MN所在直線上一點,射線AB垂直于MN,垂足為A,半圓繞M點順時針轉動,轉過的角度記作a;設半圓O的半徑為R,AM的長度為m,回答下列問題:
          探究:
          (1)若R=2,m=1,如圖1,當旋轉30°時,圓心O′到射線AB的距離是;如圖2,當a=°時,半圓O與射線AB相切;
          (2)如圖3,在(1)的條件下,為了使得半圓O轉動30°即能與射線AB相切,在保持線段AM長度不變的條件下,調整半徑R的大小,請你求出滿足要求的R,并說明理由.
          (3)發(fā)現:如圖4,在0°<α<90°時,為了對任意旋轉角都保證半圓O與射線AB能夠相切,小明探究了cosα與R、m兩個量的關系,請你幫助他直接寫出這個關系;cosα=(用含有R、m的代數式表示)
          (4)拓展:如圖5,若R=m,當半圓弧線與射線AB有兩個交點時,α的取值范圍是 , 并求出在這個變化過程中陰影部分(弓形)面積的最大值(用m表示)

          【答案】
          (1) +1;60°
          (2)解:設切點為P,連接O′P,作MQ⊥O′P,則四邊形APQM是矩形.

          ∵O′P=R,

          ∴R= R+1,

          ∴R=4+2


          (3)
          (4)解:如圖5中,當半圓與射線AB相切時,之后開始出現兩個交點,此時α=90°;當N′落在AB上時,為半圓與AB有兩個交點的最后時刻,此時∵MN′=2AM,所以∠AMN′=60°,所以,α=120°因此,當半圓弧線與射線AB有兩個交點時,α的取值范圍是:90°<α≤120°故答案為90°<α≤120°;當N′落在AB上時,陰影部分面積最大,所以S═ ? m? m= m2
          【解析】解:(1)如圖1中,作O′E⊥AB于E,MF⊥O′E于F.則四邊形AMFE是矩形,EF=AM=1.想辦法求出O′E的長即可.

          在Rt△MFO′中,∵∠MO F=30°,MO′=2,

          ∴O′F=O′Mcos30°= ,O′E= +1,

          ∴點O′到AB的距離為 +1.

          如圖2中,設切點為F,連接O′F,作O′E⊥OA于E,則四邊形O′EAF是矩形,

          ∴AE=O′F=2,

          ∵AM=1,

          ∴EM=1,

          在Rt△O′EM中,sinα= = ,

          ∴α=60°

          故答案為 +1,60°.(3)設切點為P,連接O′P,作MQ⊥O′P,則四邊形APQM是矩形.

          在Rt△O′QM中,O′Q=Rcosα,QP=m,

          ∵O′P=R,

          ∴Rcosα+m=R,

          ∴cosα=

          故答案為

          (1)如圖1中,作O′E⊥AB于E,MF⊥O′E于F.則四邊形AMFE是矩形,EF=AM=1.如圖2中,設切點為F,連接O′F,作O′E⊥OA于E,則四邊形O′EAF是矩形,在Rt△O′EM中,由sinα= = ,推出α=60°.(2)設切點為P,連接O′P,作MQ⊥O′P,則四邊形APQM是矩形.列出方程即可解決問題.(3)設切點為P,連接O′P,作MQ⊥O′P,則四邊形APQM是矩形.列出方程即可解決問題、(4)當半圓與射線AB相切時,之后開始出現兩個交點,此時α=90°;當N′落在AB上時,為半圓與AB有兩個交點的最后時刻,此時∵MN′=2AM,所以∠AMN′=60°,所以,α=120°因此,當半圓弧線與射線AB有兩個交點時,α的取值范圍是:90°<α≤120°.當N′落在AB上時,陰影部分面積最大,求出此時的面積即可.

          練習冊系列答案
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          ③3<a<4;
          ④a是18的算術平方根.
          其中,所有正確說法的序號是(
          A.①④
          B.②③
          C.①②④
          D.①③④

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          投資量x(萬元)

          2

          種植樹木利潤y1(萬元)

          4

          種植花卉利潤y2(萬元)

          2


          (1)分別求出利潤y1與y2關于投資量x的函數關系式;
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          (3)若該專業(yè)戶想獲利不低于22萬,在(2)的條件下,直接寫出投資種植花卉的金額m的范圍.

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          2)當t=1秒時,點P的坐標    ;

          3)當點POC上運動,請直接寫出點P的坐標(用含有t的式子表示);

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