Question

（2008•東城區(qū)一模）如圖，拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和B（0，5），
（1）求此拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）拋物線(xiàn)與x軸的另一交點(diǎn)為C，在直線(xiàn)CB上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PDCO為梯形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)中進(jìn)行求解即可．
（2）本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)CO∥DP時(shí)，先求出直線(xiàn)BC的解析式，然后將D點(diǎn)縱坐標(biāo)代入直線(xiàn)BC中即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后判斷DP是否與OC相等即可，如果OC≠DP，則四邊形PDCO不是梯形而是平行四邊形，如果OC≠DP，則四邊形PDCO是梯形．
②當(dāng)OP∥CD時(shí)，P點(diǎn)為直線(xiàn)OP與直線(xiàn)BC的交點(diǎn)，可根據(jù)直線(xiàn)CD的解析式求出直線(xiàn)OP的解析式，然后聯(lián)立直線(xiàn)OP和直線(xiàn)BC的解析式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，后面同①．
解答：解：（1）根據(jù)題意，得．
解得．
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²-4x+5，
由頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，9）．

（2）由拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²-4x+5，
可得C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，0）
∵B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，5），
∴直線(xiàn)CB的解析式為y=x+5．
i：當(dāng)OP∥CD，且OP≠CD時(shí)，四邊形PDCO為梯形．
∵直線(xiàn)CD的解析式為y=3x+5，OP∥CD，
∴直線(xiàn)OP的解析式為y=3x．
根據(jù)題意，得，
解得．
∴點(diǎn)P（，）．
∵OP=，CD=3，
∴OP≠CD，點(diǎn)P（，）即為所求．
∴點(diǎn)p（4，9）即為所求；
ii：當(dāng)DP∥CO，且DP≠CO時(shí)，四邊形PDCO為梯形，
根據(jù)題意，
解得
∴點(diǎn)P（4，9），
∵OC=5，DP=6
∴OC≠DP
∴點(diǎn)P（4，9）為所求．
綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）或（4，9）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)以及梯形的判定等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用．