Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=AC=10cm，BC=8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．

（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．
①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說明理由；
②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？
（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC邊上相遇？

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵t=1s，
∴BP=CQ=3×1=3cm，
∵AB=10cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴BD=5cm．
又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，
∴PC=8﹣3=5cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中， ，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
②∵vP≠vQ ，
∴BP≠CQ，
若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，
則BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，
∴點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 ，
∴ cm/s
（2）解：設(shè)經(jīng)過x秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，
由題意，得 x=3x+2×10，
解得 ．
∴點(diǎn)P共運(yùn)動(dòng)了 ×3=80cm．
△ABC周長(zhǎng)為：10+10+8=28cm，
若是運(yùn)動(dòng)了三圈即為：28×3=84cm，
∵84﹣80=4cm＜AB的長(zhǎng)度，
∴點(diǎn)P、點(diǎn)Q在AB邊上相遇，
∴經(jīng)過 s點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在邊AB上相遇
【解析】（1）①根據(jù)時(shí)間和速度分別求得BP、BD、PC、QC的長(zhǎng)，根據(jù)SAS判定兩個(gè)三角形全等．②根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得到BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，再根據(jù)路程=速度×?xí)r間公式，先求得點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求得點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；（2）由于點(diǎn)Q的速度快，且在點(diǎn)P的前邊，所以要想第一次相遇，則應(yīng)該比點(diǎn)P多走等腰三角形的兩個(gè)腰長(zhǎng).