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          精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
          
			
          
				（1）觀察發(fā)現：
          如圖1，若點A，B在直線l同側，在直線l上找一點P，使AP+BP的值最�。�
          做法如下：作點B關于直線l的對稱點B'，連接AB'，與直線l的交點就是所求的點P
          再如圖2，在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最�。�
          做法如下：作點B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為
           
          ．
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          （2）實踐運用
          如圖3，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8，點P是對角線AC上的一個動點，點M、N分別是邊AB、BC的中點，求PM+PN的最小值．精英家教網
          （3）拓展延伸
          如圖4，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點F，使∠AFB=∠AFD．保留作圖痕跡，不必寫出作法．			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）因為BP=PC，所以BP+PE=PC+PE=CE，而易知CE=
          		3
          ；
          （2）過AC作N的對稱點N'，連接MN'，則PM+PN的最小值為MN'，計算出BC的長即為MN'的長；
          （3）找B關于AC對稱點E，連DE延長交AC于P即可．
          解答：解：（1）因為C是B點關于AD的對稱點，
          ∴BP=PC，
          ∴BP+PE=PC+PE=CE=
          		3
          ；

          （2）如下圖過AC作N的對稱點N'，連接MN'，則PM+PN的最小值為MN'，精英家教網
          因為M，N為AB，BC邊上的中點，
          ∴MN=BC，
          又BP=
          1
          2
          ×6=3，PC=
          1
          2
          ×8=4，
          ∴在直角△BPC中，BC=5，
          ∴MN=5．精英家教網

          （3）找B關于AC對稱點E，連DE延長交AC于F即可．
          點評：本題考查了點的對稱點以及求最短路徑問題，難度適中，但步驟多做題時要圖形結合，認真分析認真作圖．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：初中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題--將軍飲馬問題：
          如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河旁邊的P點飲馬后再到B點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？
          做法如下：如圖1，從B出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長線上，取B關于河岸的對稱點B′，連接AB′，與河岸線相交于P，則P點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到P，飲馬之后，再由P沿直線走到B，所走的路程就是最短的．
          （1）觀察發(fā)現
          再如圖2，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，點E、F是底邊AD與BC的中點，連接EF，在線段EF上找一點P，使BP+AP最短．
          作點B關于EF的對稱點，恰好與點C重合，連接AC交EF于一點，則這點就是所求的點P，故BP+AP的最小值為
          2
          		3
          2
          		3
          ．
          （2）實踐運用
          如圖3，已知⊙O的直徑MN=1，點A在圓上，且∠AMN的度數為30°，點B是弧AN的中點，點P在直徑MN上運動，求BP+AP的最小值．
          （3）拓展遷移
          如圖4，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=1，且拋物線經過A（-1，0）、C（0，-3）兩點，與x軸交于另一點B．
          ①求這條拋物線所對應的函數關系式；
          ②在拋物線的對稱軸直線x=1上找到一點M，使△ACM周長最小，請求出此時點M的坐標與△ACM周長最小值．（結果保留根號）
          

			
          

			
          
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				科目：初中數學
				來源：
				題型：解答題
			
          

						
          唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題--將軍飲馬問題：
          如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河旁邊的P點飲馬后再到B點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？
          做法如下：如圖1，從B出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長線上，取B關于河岸的對稱點B′，連接AB′，與河岸線相交于P，則P點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到P，飲馬之后，再由P沿直線走到B，所走的路程就是最短的．
          （1）觀察發(fā)現
          再如圖2，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，點E、F是底邊AD與BC的中點，連接EF，在線段EF上找一點P，使BP+AP最短．
          作點B關于EF的對稱點，恰好與點C重合，連接AC交EF于一點，則這點就是所求的點P，故BP+AP的最小值為______．
          （2）實踐運用
          如圖3，已知⊙O的直徑MN=1，點A在圓上，且∠AMN的度數為30°，點B是弧AN的中點，點P在直徑MN上運動，求BP+AP的最小值．
          （3）拓展遷移
          如圖4，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=1，且拋物線經過A（-1，0）、C（0，-3）兩點，與x軸交于另一點B．
          ①求這條拋物線所對應的函數關系式；
          ②在拋物線的對稱軸直線x=1上找到一點M，使△ACM周長最小，請求出此時點M的坐標與△ACM周長最小值．（結果保留根號）
          

			
          

			
          
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				科目：初中數學
				來源：2011-2012學年江蘇省無錫市華莊中學九年級（上）期末數學模擬試卷（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題--將軍飲馬問題：
          如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河旁邊的P點飲馬后再到B點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？
          做法如下：如圖1，從B出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長線上，取B關于河岸的對稱點B′，連接AB′，與河岸線相交于P，則P點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到P，飲馬之后，再由P沿直線走到B，所走的路程就是最短的．
          （1）觀察發(fā)現
          再如圖2，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，點E、F是底邊AD與BC的中點，連接EF，在線段EF上找一點P，使BP+AP最短．
          作點B關于EF的對稱點，恰好與點C重合，連接AC交EF于一點，則這點就是所求的點P，故BP+AP的最小值為______
          

			
          

			
          
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				科目：初中數學
				來源：
				題型：解答題
			
          

						
          （1）觀察發(fā)現
          　 如圖（1）：若點A、B在直線m同側，在直線m上找一點P，使AP+BP的值最小，做法如下：
          　 作點B關于直線m的對稱點B′，連接AB′，與直線m的交點就是所求的點P，線段AB′的長度即為AP+BP的最小值．

          　 如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小，做法如下：
          作點B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為______．
           （2）實踐運用
          　 如圖（3）：已知⊙O的直徑CD為2，數學公式的度數為60°，點B是數學公式的中點，在直徑CD上作出點P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為______．

            （3）拓展延伸
          如圖（4）：點P是四邊形ABCD內一點，分別在邊AB、BC上作出點M，點N，使PM+PN+MN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法．
          

			
          

			
          
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