Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞0）的焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓C的焦距為2． （Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)R（4，0）的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)P，Q，過(guò)P作PN⊥x軸且與橢圓C交于另一點(diǎn)N，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，求證：三點(diǎn)N，F(xiàn)，Q在同一條直線上．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓 的焦點(diǎn)在x軸上， ∴a2＞7﹣a2 ， 即 ，
∵橢圓C的焦距為2，且a2﹣b2=c2 ，
∴a2﹣（7﹣a2）=1，解得a2=4，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；
（Ⅱ）證明：由題知直線l的斜率存在，
設(shè)l的方程為y=k（x﹣4），點(diǎn)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），N（x1 ， ﹣y1），
則 得3x2+4k2（x﹣4）2=12，
即（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0， ， ，
由題可得直線QN方程為 ，
又∵y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），
∴直線QN方程為 ，
令y=0，整理得 =
= = ，
即直線QN過(guò)點(diǎn)（1，0），
又∵橢圓C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），
∴三點(diǎn)N，F(xiàn)，Q在同一條直線上．
【解析】（Ⅰ）由橢圓的焦點(diǎn)位置分析可得a2＞7﹣a2 ， 進(jìn)而由橢圓的幾何性質(zhì)可得a2﹣（7﹣a2）=1，解可得a的值，代入橢圓的方程即可得答案；（Ⅱ）分析可得直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為y=k（x﹣4），聯(lián)立直線與橢圓的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系分析可得直線QN方程，令y=0，可得直線QN過(guò)點(diǎn)（1，0），由橢圓的幾何性質(zhì)分析可得答案．