Question

【題目】如圖，把一張長方形紙片ABCD沿對角線BD對折，使得點C落在點F處，DF交AB于E，AD=8，AB=16.

（1）求證：DE=BE；

（2）求S△BEF；

（3）若M、N分別為線段CD、DB上的動點，直接寫出（NC+NM）的最小值___________.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）S△BDE=40；（3）12.8.

【解析】

（1）由折疊的性質可得到∠BDC=∠BDF，再由平行線的性質可得∠ABD=∠BDC，由此可得∠ABD=∠BDF，據此即可得結論；

（2）設BE=x，則DE=BE=x，AE=16-x，利用勾股定理即可求出BE的長，再利用三角形面積公式進行求解即可得答案；

（3）由題意知C、F關于直線BD對稱，過點F作FM⊥CD，垂足為M，交BD于點N，交AB于點H，此時MN+NC的值最小，求出FH的長即可求得答案.

（1）∵△BCD≌△BFD，

∴∠BDC=∠BDF，

又∵四邊形ABCD是長方形，

∴AB∥DC，

∴∠ABD=∠BDC，

∴∠ABD=∠BDF，

∴DE=BE；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

∴AD2+AE2=DE2，

設BE=x，則DE=BE=x，AE=AB-BE=16-x，

∴82+（16-x）2=x2，

∴x=10，

∴S△BDE==40；

（3）由題意知C、F關于直線BD對稱，過點F作FM⊥CD，垂足為M，交BD于點N，交AB于點H，此時MN+NC的值最小，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB//CD，∠A=∠ADM=90°，

∵FM⊥CD，

∴∠FMD=90°，

∴四邊形ADMH是矩形，

∴∠FHE=90°，HM=AD=8，

∵∠A=∠BFE=90°，AD=BF，DE=BE，

∴Rt△ADE≌Rt△FBE（HL），

∴EF=AE=16-10=6，

∵S△BEF=，

∴FH==4.8，

∴FM=FH+HM=4.8+8=12.8，

即NC+NM的最小值為12.8，

故答案為：12.8.