Question

由四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間的陰影部分是一個小正方形的“趙爽弦圖”，若這四個全等的直角三角形有一個角為30°，頂點B₁，B₂，B₃，…，B_n和C₁，C₂，C₃，…，C_n分別在直線y=-

1

2

x+

3

+1和x軸上，則第一個陰影正方形的面積為

4

9

，第n個陰影正方形的面積為

(

4

9

)n

．

Answer 1

分析：首先設(shè)B₁點坐標為（t，t），由頂點B₁在直線y=-

1

2

x+

3

+1上，即可求得t的值，又由這四個全等的直角三角形有一個角為30°，可求得第一個陰影正方形的邊長，則可求得第一個陰影正方形的面積；可設(shè)正方形A₂B₂C₂C₁的邊長為a，第一個陰影正方形與第二個陰影正方形的相似比為：a：t=2：3，即可求得答案．

解答：解：如圖：設(shè)B₁點坐標為（t，t），
∴t=-

1

2

t+

3

+1，
解得：t=

2

3

（

3

+1），
∴A₁B₁=t=

2

3

（

3

+1），
∵這四個全等的直角三角形有一個角為30°，
∴B₁N₁=

1

2

A₁B₁=

1

2

t=

1

3

（

3

+1），A₁N₁=A₁B₁•cos30°=

3

2

t=

3

2

×

2

3

（

3

+1）=

3+ 3

3

，
∴B₁P₁=A₁N₁=

3+ 3

3

，
∴N₁P₁=B₁P₁-B₁N₁=

3+ 3

3

-

3 +1

3

=

2

3

，
∴第一個陰影正方形的面積是：（

2

3

）²=

4

9

；
設(shè)正方形A₂B₂C₂C₁的邊長為a，
∵直線y=-

1

2

x+

3

+1的斜率為-

1

2

，
∴tan∠B₁B₂A₂=

A2B1

A2B2

=

1

2

，
在Rt△A₂B₂B₁中，

A2B2

A2B1

=

a

t-a

=2，
∴a：t=2：3，
∵N₁P₁=B₁P₁-B₁N₁=（

3

2

-

1

2

）t，
同理：N₂P₂=B₂P₂-B₂N₂=（

3

2

-

1

2

）a，
∴第一個陰影正方形與第二個陰影正方形的相似比為：a：t=2：3，
∴第一個陰影正方形與第二個陰影正方形的面積比為4：9，
∴第二個陰影正方形的面積為：

4

9

×

4

9

=（

4

9

）²，
∴第三個陰影正方形的面積為：

4

9

×

4

9

×

4

9

=（

4

9

）³，
∴第n個陰影正方形的面積為：（

4

9

）ⁿ．
故答案為：

4

9

，（

4

9

）ⁿ．

點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、相似多邊形的性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．