Question

【題目】如圖①，直線CD與以線段OB為直徑的半⊙A相切于點C，連接OC、BC，作OD⊥CD，垂足為D，OB＝10，

（1）求證：∠OCD＝∠OBC；

（2）如圖②，作CE⊥OB于點E，若CE＝AE，求線段OD的長；

（3）如圖③，在（2）的條件下，以O點為原點建立平面直角坐標(biāo)系求△DOB外接圓的圓心坐標(biāo)．

以下是優(yōu)優(yōu)和樂樂兩位同學(xué)對第（3）小題的討論

優(yōu)優(yōu)：這題很簡單嘛，我只要求出這個三角形任意兩條邊的中垂線解析式，然后求交點坐標(biāo)就行了．樂樂：我還有其他的好方法．

如果你是樂樂，你會怎么做？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）5﹣；（3）△DOB外接圓的圓心坐標(biāo)為（5，）

【解析】

（1）連接OC，由題意可得∠OBC＋∠COB＝90°，∠ACO＋∠DCO＝90°，由AC＝OA，可得∠ACO＝∠AOC，即可證∠OCD＝∠OBC；
（2）連接CA，由題意可證△CDO≌△CEO，可得OD＝OE，由OA＝AB＝AC＝5，CE＝AE，CE⊥OB，可得AE＝，即可求OD的長；
（3）設(shè)直線CD與x軸交于點N，過點B作BM⊥x軸交直線CD于點M，連接AC，OM，由題意可求∠CAE＝∠ACE＝45°＝∠CNA＝∠CMB，可得AC＝CN，BM＝BN，根據(jù)勾股定理可求AN的長，即可求BM的長，可得點M坐標(biāo)，由∠MDO＝∠MBO＝90°，可證點D，點O，點B，點M四點共圓，即OM是直徑，則OM的中點是圓心，也是△DOB外接圓的圓心，根據(jù)中點坐標(biāo)公式可求OM中點坐標(biāo)．

解：（1）如圖：連接OC

∵OB是直徑

∴∠OCB＝90°

∴∠OBC+∠COB＝90°

∵CD是⊙A的切線

∴AC⊥CD

∴∠ACO+∠DCO＝90°

∵AC＝OA

∴∠ACO＝∠AOC

∴∠OCD＝∠OBC；

（2）如圖：連接CA

∵CE⊥OB

∴∠COB+∠OCE＝90°且∠OBC+∠COB＝90°

∴∠OCE＝∠OBC且∠OCD＝∠OBC

∴∠OCD＝∠OCE且OC＝OC，∠CDO＝∠CEO＝90°

∴△CDO≌△CEO（AAS）

∴OD＝OE

∵OB＝10，

∴OA＝AB＝AC＝5

∵CE＝AE，CE⊥OB

∴AE2+CE2＝AC2．

∴AE＝＝CE

∴OE＝5﹣＝OD

（3）如圖：設(shè)直線CD與x軸交于點N，過點B作BM⊥x軸交直線CD于點M，連接AC，OM

∵CE＝AE，CE⊥OB

∴∠CAE＝∠ACE＝45°，

又∵AC⊥CD

∴∠CNA＝∠CAE＝45°

∴AC＝CN＝5

∴AN＝＝5

∵BN＝AN+AB

∴BN＝5+5

∵BM⊥AB，∠CNA＝45°

∴∠CNA＝∠CMB＝45°

∴BN＝BM＝5+5，且OB＝10

∴點M的坐標(biāo)為（10，5+5）

∵∠MDO＝∠MBO＝90°

∴點D，點O，點B，點M四點共圓

∴OM是直徑

∴OM的中點是圓心，也是△DOB外接圓的圓心；

∵點O（0，0），點M（10，5+5）

∴△DOB外接圓的圓心坐標(biāo)為（5，）