Question

【題目】我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，認(rèn)為圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時(shí)，周長就越接近圓周長，由此求得了圓周率π的近似值，設(shè)半徑為r的圓內(nèi)接正n邊形的周長為L，圓的直徑為d，如圖所示，當(dāng)n=6時(shí)，π≈ = =3，那么當(dāng)n=12時(shí)，π≈ = ． （結(jié)果精確到0.01，參考數(shù)據(jù)：sin15°=cos75°≈0.259）

Answer 1

【答案】3.10
【解析】解：如圖，圓的內(nèi)接正十二邊形被半徑分成如圖所示的十二個(gè)等腰三角形，其頂角為30°，即∠O=30°，∠ABO=∠A=75°， 作BC⊥AO于點(diǎn)C，則∠ABC=15°，

∵AO=BO=r，
∴BC= r，OC= r，
∴AC=（1﹣ ）r，
∵Rt△ABC中，cosA= ，
即0.259= ，
∴AB≈0.517r，
∴L=12×0.517r=6.207r，
又∵d=2r，
∴π≈ = ≈3.10，
故答案為：3.10
圓的內(nèi)接正十二邊形被半徑分成頂角為30°的十二個(gè)等腰三角形，作輔助線構(gòu)造直角三角形，根據(jù)中心角的度數(shù)以及半徑的大小，求得L=6.207r，d=2r，進(jìn)而得到π≈ = ≈3.10．