Question

如圖，在直角坐標系中，梯形ABCD的底邊AB在x軸上，底邊CD的端點D在y軸上．直線CB的表達式為y=-

4

3

x+

16

3

，點A、D的坐標分別為（-4，0），（0，4）．動點P自A點出發(fā)，在AB上勻速運行．動點Q自點B出發(fā)，在折線BCD上勻速運行，速度均為每秒1個單位．當其中一個動點到達終點時，它們同時停止運動．設點P運動t（秒）時，△OPQ的面積為s（不能構成△OPQ的動點除外）．
（1）求出點B、C的坐標；
（2）求s隨t變化的函數關系式；
（3）當t為何值時s有最大值？并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）把y=4代入y=-

4

3

x+

16

3

，求得x的值，則可得點C的坐標，把y=0代入y=-

4

3

x+

16

3

，求得x的值，即可得點B的坐標；
（2）作CM⊥AB于M，則可求得CM與BM的值，求得∠ABC的正弦值，然后分別從0＜t＜4時，當4＜t≤5時與當5＜t≤6時去分析求解即可求得答案；
（3）在（2）的情況下s的最大值，然后比較即可求得答案．

解答：解：（1）把y=4代入y=-

4

3

x+

16

3

，得x=1．
∴C點的坐標為（1，4）．
當y=0時，-

4

3

x+

16

3

=0，
∴x=4．
∴點B坐標為（4，0）．

（2）作CM⊥AB于M，則CM=4，BM=3．
∴BC=

CM2+BM2

=

32+42

=5．
∴sin∠ABC=

CM

BC

=

4

5

．
①0＜t＜4時，作QN⊥OB于N，
則QN=BQ•sin∠ABC=

4

5

t．
∴S=

1

2

OP•QN=

1

2

（4-t）×

4

5

t=-

2

5

t²+

8

5

t（0＜t＜4）．

②當4＜t≤5時，（如圖1），
連接QO，QP，作QN⊥OB于N．
同理可得QN=

4

5

t．
∴S=

1

2

OP•QN=

1

2

×（t-4）×

4

5

t=

2

5

t²-

8

5

t（4＜t≤5）．

③當5＜t≤6時，（如圖2），
連接QO，QP．
S=

1

2

×OP×OD=

1

2

（t-4）×4=2t-8（5＜t≤6）．

（3）①在0＜t＜4時，
當t=-

8 5

2×(- 2 5 )

=2時，
S_最大=

-( 8 5 )2

4×(- 2 5 )

=

8

5

．
②在4＜t≤5時，對于拋物線S=

2

5

t²-

8

5

t，當t=-

- 8 5

2× 2 5

=2時，
S_最小=

2

5

×2²-

8

5

×2=-

8

5

．
∴拋物線S=

2

5

t²-

8

5

t的頂點為（2，-

8

5

）．
∴在4＜t≤5時，S隨t的增大而增大．
∴當t=5時，S_最大=

2

5

×5²-

8

5

×5=2．

③在5＜t≤6時，
在S=2t-8中，
∵k=2＞0，
∴S隨t的增大而增大．
∴當t=6時，S_最大=2×6-8=4．
∴綜合三種情況，當t=6時，S取得最大值，最大值是4．

點評：此題考查了點與函數的關系，三角形面積的求解方法以及利用二次函數的知識求函數的最大值的問題．此題綜合性很強，難度較大，解題時要注意分類討論思想，方程思想與數形結合思想的應用．