Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)在線段AB上作勻速運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），同時(shí)點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)在線段BC上作勻速運(yùn)動(dòng)．

（1）如圖1，若M為AB中點(diǎn)，且DM⊥MN．請(qǐng)?jiān)趫D中找出兩對(duì)相似三角形：

①　 　∽　 　_，②　 　∽　 　，選擇其中一對(duì)加以證明；

（2）①如圖2，若AB=5，BC=3點(diǎn)M的速度為1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，點(diǎn)N的速度為個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．當(dāng)t為何值時(shí)，△DAM與△MBN相似？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②如果把點(diǎn)N的速度改為a個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，其它條件不變，是否存在a的值，使得△DAM與△MBN和△DCN這兩個(gè)三角形都相似？若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①當(dāng)t=時(shí)，△DAM∽△MBN；當(dāng)t=﹣3時(shí)，△DAM∽△NBM；②當(dāng)a=時(shí)，△DAM∽△MBN∽△DCN．

【解析】分析：（1）首先可得有△DAM∽△MBN，△DAM∽△DMN，△DMN∽△MBN三對(duì)相似；然后選擇其中的一對(duì)證明即可，注意應(yīng)用矩形的性質(zhì)，特別是同角或等角的余角相等的性質(zhì)的應(yīng)用；

（2）①如圖2可得AM=t，MB=5﹣t，BN=t（0＜t＜5），然后分兩種情況：（Ⅰ）當(dāng)∠1=∠3時(shí)，△DAM∽△MBN；（Ⅱ）當(dāng)∠2=∠3時(shí)，△DAM∽△NBM去分析根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得方程，解方程即可求得答案；

②分四種情況去分析：（Ⅰ）當(dāng)∠1=∠3=∠6時(shí)，∠DMN=90°，△DAM∽△MBN∽△DCN，（Ⅱ）當(dāng)∠1=∠3=∠5時(shí)，（Ⅲ）當(dāng)∠2=∠3=∠6時(shí)，（Ⅳ）當(dāng)∠2=∠3=∠5時(shí)，△DAM∽△NBM∽△DCN，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列方程求解即可求得答案．

詳解：（1）有△DAM∽△MBN，△DAM∽△DMN，△DMN∽△MBN三對(duì)相似；

選△DAM∽△MBN，證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∴∠ADM=90°﹣∠AMD．∵DM⊥MN，∴∠BMN=180°﹣90°﹣∠AMD=90°﹣∠AMD，∴∠ADM=∠BMD，∴△DAM∽△MBN；

選△DAM∽△DMN，證明：延長(zhǎng)NM交DA的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，如圖1．

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，∴∠EAM=∠B=90°．又∵∠AME=∠BMN，AM=BM，∴△AME≌△BMN，∴EM=MN．又∵DM⊥MN，∴DE=DN，∴∠ADM=∠NDM．又∵∠DAM=∠DMN=90°，∴△DAM∽△DMN；

選△DAM∽△MBN，證明：延長(zhǎng)MN交DA的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，如圖1．

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，∴∠EAM=∠B=90°．又∵∠AME=∠BMN，AM=BM，∴△AME≌△BMN，∴EM=MN，∠E=∠MNB．又∵DM⊥MN，∴DE=DN，∴∠E=∠DNM，∴∠DNM=∠MNB．又∵∠DMN=∠B=90°，∴△DMN∽△MBN；

（2）①如圖2，AM=t，MB=5﹣t，BN=t（0＜t＜5），分兩種情況：

（Ⅰ）當(dāng)∠1=∠3時(shí)，△DAM∽△MBN，∴，解得：t=。

（Ⅱ）當(dāng)∠2=∠3時(shí)，△DAM∽△NBM，∴，∴AMBN=ADBM，∴t×t=3（5﹣t），解得：t3=﹣3，t4=﹣﹣3（不合題意舍去）。

∴當(dāng)t=時(shí)，△DAM∽△MBN；當(dāng)t=﹣3時(shí)，△DAM∽△NBM．

②分四種情況：（Ⅰ）當(dāng)∠1=∠3=∠6時(shí)，∠DMN=90°，△DAM∽△MBN∽△DCN，由，得：BN=，∴CN=，由，得：CNMB=DCBN，∴﹣（5﹣t）=5﹣，化簡(jiǎn)得：t2﹣10t+9=0，解得：t1=1，t2=9（不合題意舍去），a=；

（Ⅱ）當(dāng)∠1=∠3=∠5時(shí)．∵∠5+∠6=90°，∴∠1+∠6=90°，（與已知條件矛盾）， 所以此時(shí)不存在．

（Ⅲ）當(dāng)∠2=∠3=∠6時(shí)，方法一：∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠6=90°，（與已知條件矛盾）所以此時(shí)不存在．

方法二：由，得：BN=，∴CN=，由，得：CNMB=DCBN，∴（5﹣t）=5﹣，解得：t=5（不合題意舍去），所以此時(shí)不存在．

（Ⅳ）當(dāng)∠2=∠3=∠5時(shí)，△DAM∽△NBM∽△DCN，由（Ⅲ）得BN=，∴CN=，由，得：CNNB=DCBM，∴﹣=5（5﹣t），化簡(jiǎn)得：5t2﹣18t+45=0方程沒有實(shí)數(shù)根，所以此時(shí)不存在．

綜上所述：當(dāng)a=時(shí)，△DAM∽△MBN∽△DCN．