Question

如圖，已知射線DE與x軸和y軸分別交于點(diǎn)D（3，0）和點(diǎn)E（0，4）．動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)M（5，0）出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿x軸向左作勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，以點(diǎn)C為圓心、

1

2

t個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑的⊙C與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．
（1）請(qǐng)用含t的代數(shù)式分別表示出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）①當(dāng)⊙C恰好經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)，求t的值；
②當(dāng)⊙C與射線DE相切時(shí)，求t的值；
（3）直接寫出當(dāng)⊙C與射線DE有公共點(diǎn)時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)CM=t，CO-AC=OM-CM-AC=5-t-

1

2

t=5-

3

2

t，進(jìn)而得出A，B，C點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）①當(dāng)⊙C恰好經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A或點(diǎn)B與D重合，進(jìn)而得出等式方程求出即可；
②由圖可知，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，⊙C才能與射線DE相切，過點(diǎn)C作CF⊥射線DE，垂足為F，得△CDF∽△EDO，求出t的值即可；
（3）當(dāng)點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，所用的時(shí)間是t的最小值，此時(shí)DC=OC-OD=5-t-3=

1

2

t，得到t≥

4

3

，當(dāng)圓C在點(diǎn)D左側(cè)且與ED相切時(shí)，為t的最大值，即可得出t的取值范圍．

解答：解：（1）根據(jù)點(diǎn)C從M點(diǎn)向左移動(dòng)，
則CM=t，CO-AC=OM-CM-AC=5-t-

1

2

t=5-

3

2

t，
BO=5-

3

2

t+t=5-

1

2

t，
故A(5-

3

2

t，0)、B(5-

1

2

t，0)、C（5-t，0）．

（2）①當(dāng)⊙C恰好經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A或點(diǎn)B與D重合，
∴5-

3

2

t=3或5-

1

2

t=3，解得t=

4

3

或t=4，
∴當(dāng)⊙C恰好經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)t的值為

4

3

或4．
②由圖可知，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，⊙C才能與射線DE相切，過點(diǎn)C作CF⊥射線DE，垂足為F，
則由∠CDF=∠EDO，得△CDF∽△EDO，
則

CF

4

=

3-(5-t)

5

．解得CF=

4t-8

5

．
∵⊙C與射線DE相切，∴CF=

1

2

t，即

4t-8

5

=

1

2

t，解得t=

16

3

．
∴當(dāng)⊙C與射線DE相切時(shí)，t的值為

16

3

；

（3）當(dāng)⊙C的圓心C由點(diǎn)M（5，0）向左運(yùn)動(dòng)，使點(diǎn)A到點(diǎn)D并隨⊙C繼續(xù)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，
有5-

3

2

t≤3，即t≥

4

3

．
利用（2）中CF=

4t-8

5

，
由CF≤

1

2

t，即

4t-8

5

≤

1

2

t，解得t≤

16

3

．
∴當(dāng)⊙C與射線DE有公共點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍為

4

3

≤t≤

16

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題為代數(shù)與幾何有一定難度的綜合題，它綜合考查了用變量t表示點(diǎn)的坐標(biāo)，直線（射線）與圓的位置關(guān)系，相似三角形和方程不等式等方面的知識(shí)．重點(diǎn)考查學(xué)生是否認(rèn)真審題，挖掘出題中的隱含條件，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，以及運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想解決實(shí)際問題的能力．