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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】如圖,拋物線的解析式為y=﹣x+5,拋物線與x軸交于AB兩點(A點在B點的左側),與y軸交于點C,拋物線對稱軸與直線BC交于點D

          1E點是線段BC上方拋物線上一點,過點E作直線EF平行于y軸,交BC于點F,若線段CD長度保持不變,沿直線BC移動得到C'D',當線段EF最大時,求EC'+C'D'+D'B的最小值;

          2Q是拋物線上一動點,請問拋物線對稱軸上是否存在一點P是△APQ為等邊三角形,若存在,請直接寫出三角形邊長,若不存在請說明理由.

          【答案】1;(2)存在,滿足要求的等邊三角形的邊長可以是:6、22

          【解析】

          (1)根據解析式把必要的點的坐標及線段長度求出來備用.將E點橫坐標設為未知數,用E、F的縱坐標之差表示EF長度,通過配方求EF的最值及取得最值時E點坐標.由于C'D'長度不變,因此將EC'平移至E'D',注意到∠CBO30°,作D'GOBG,E'HOBH,根據垂線段最短原理即可確定最值.

          2)圖形有四種情況,分別進行構圖求解.當QB重合時對應兩種圖(Px上方和下方),這兩種情況的等邊三角形的邊長是一樣的,就是AB的長;第三種情況,QC重合,此時的等邊三角形邊長就是AC長度(這種情況下,P其實就是△ABC的外心);第四種情況,Q在第三象限,由于PQPAPB,根據圓周角與圓心角的關系可得∠ABQ30°,于是可求出BQ解析式,將BQ解析式與拋物線解析式聯立方程組可解出Q點坐標,然后由兩點間的距離公式求出AQ長度就是對應的等邊三角形的邊長.

          解:(1)因為y=﹣x2+x+5=﹣x5)(x+),

          A(﹣0),B5,0),C0,5),拋物線對稱軸為x2

          B、C坐標可求得直線BC的解析式為y=﹣x+5,

          x2,則y=﹣×2+53,

          D2,3),

          CDC'D'=4

          Em,﹣m2+m+5),則Fm,﹣m+5),

          EFyEyF=﹣m2+m+5+m5=﹣m2+m=﹣m2+,

          ∴當m時,EF取得最大值,此時E,).

          如圖1,作平行四邊形EC'D'E',則EC'=E'D',E'(,).

          D'GOBG,E'HOBH

          tanCBO,所以∠CBO30°,

          D'GD'B

          EC'+C'D'+D'BC'D'+E'D'+D'GC'D'+E'H,

          當且僅當E'、D'、G三點共線時,

          EC'+C'D'+D'B取得最小值C'D'+E'H4+

          2)①如圖2,△APQ是等邊三角形,此時QB重合,

          ∴等邊三角形的邊長為AQAB6

          ②如圖3,△APQ是等邊三角形,此時QB重合,Px軸下方.

          ∴等邊三角形的邊長為AQAB6

          ③如圖4,△APQ是等邊三角形,此時QC重合,Px軸上方.

          ∴等邊三角形的邊長為AQAC2

          ④如圖5,△APQ是等邊三角形,此時Q在第三象限,Px軸下方.

          PAPBPQ,所以AQ、B三點在以P為圓心PA為半徑為圓周上,

          ∴∠ABQAPQ30°,

          ∴直線BQ的解析式為yx5,

          聯立方程組,

          解得(舍),

          Q=(﹣2,﹣7),

          AQ2,即等邊△APQ的邊長為2

          綜上所述,滿足要求的等邊三角形的邊長可以是:6、2、2

          練習冊系列答案
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          銷售數據(x)

          售價()

          日銷售量()

          1x35

          x+30

          1002x

          35x60

          70

          1002x

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          其中,甲設計院C組的抗傾覆系數是:7,77,6,77;

          乙設計院D組的抗傾覆系數是:88,98,88;

          甲、乙設計院分別被抽取的20座橋梁的抗傾覆系數統(tǒng)計表

          設計院

          平均數

          7.7

          8.9

          眾數

          a

          8

          中位數

          7

          b

          方差

          19.7

          18.3

          根據以上信息解答下列問題:

          1)扇形統(tǒng)計圖中D組數據所對應的圓心角是   度,a   b   ;

          2)根據以上數據,甲、乙兩個設計院中哪個設計院的橋梁安全性更高,說明理由(一條即可):   ;

          3)據統(tǒng)計,2018年至2019年,甲設計院完成設計80座橋梁,乙設計院完成設計120座橋梁,請估算2018年至2019年兩設計院的不安全橋梁的總數.

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          2)在圖中畫出以 AB 為斜邊的直角三角形 ABD, D在小正方形的頂點上,且 AD>BD

          3)連接 CD,請你直接寫出線段 CD 的長.

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          寫出yx的函數關系式;

          當該專賣店每件童裝降價多少元時,平均每天盈利400元?

          該專賣店要想平均每天盈利600元,可能嗎?請說明理由.

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          1)問B處距離燈塔P有多遠?(結果精確到0.1海里)

          2)假設有一圓形暗礁區(qū)域,它的圓心位于射線PB上,距離燈塔150海里的點O處.圓形暗礁區(qū)域的半徑為60海里,進入這個區(qū)域,就有觸礁的危險.請判斷海輪到達B處是否有觸礁的危險?如果海輪從B處繼續(xù)向正北方向航行,是否有觸礁的危險?并說明理由.(參考數據:≈1.414≈1.732

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