Question

如圖所示，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點(diǎn)F在DC上，DF=2．動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)D、B同時(shí)出發(fā)，沿射線DA、線段BA向點(diǎn)A的方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M可運(yùn)動(dòng)到DA的延長(zhǎng)線上），當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．連接FM、MN、FN，過△FMN三邊的中點(diǎn)作△PQW．設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N的速度都是1個(gè)單位/秒，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒．試解答下列問題：
（1）說(shuō)明△FMN∽△QWP；
（2）設(shè)0≤x≤4．試問x為何值時(shí)，△PQW為直角三角形？
（3）試用含的代數(shù)式表示MN²，并求當(dāng)x為何值時(shí)，MN²最��？求此時(shí)MN²的值．

Answer 1

分析：（1）由根據(jù)題意可知P、W、Q分別是△FMN三邊的中點(diǎn)，可得PW是△FMN的中位線，然后即可證明△FMN∽△QWP；
（2）由（1）得，△FMN∽△QWP，當(dāng)△QWP為直角三角形時(shí)，△FMN為直角三角形，根據(jù)DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x，利用勾股定理求得FM²=4+x²，MN²=（4-x）²+（6-x）²，F(xiàn)N²=（4-x）²+16，然后分①當(dāng)MN²=FM²+FN²時(shí)，②當(dāng)FN²=FM²+MN²時(shí)，③FM²=MN²+FN²時(shí)三種情況討論即可．
（3）根據(jù)①當(dāng)0≤x≤4，即M從D到A運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN≥AN，AN=6-x，故只有當(dāng)x=4時(shí)，MN的值最小即可求得答案，②當(dāng)4＜x≤6時(shí)，MN²=AM²+AN²=（x-4）²+（6-x）²，解得x即可

解答：解：（1）由題意可知P、W、Q分別是△FMN三邊的中點(diǎn)，
∴PW是△FMN的中位線，即PW∥MN，
∴

QW

MF

=

PW

MN

=

PQ

NF

=

1

2

，
∴△FMN∽△QWP；

（2）由（1）得，△FMN∽△QWP，
∴當(dāng)△QWP為直角三角形時(shí)，△FMN為直角三角形，反之亦然．
由題意可得DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x，
由勾股定理分別得FM²=4+x²，MN²=（4-x）²+（6-x）²，
過點(diǎn)N作NK⊥CD于K，
∴CK=BN=x，
∵CF=CD-DF=6-2=4，
∴FK=4-x，
∴FN²=NK²+FK²=（4-x）²+16，
①當(dāng)MN²=FM²+FN²時(shí)，（4-x）²+（6-x）²=4+x²+（4-x）²+16，
解得x=

4

3

，
②當(dāng)FN²=FM²+MN²時(shí)，（4-x）²+16=4+x²+（4-x）²+（6-x）²
此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
③FM²=MN²+FN²時(shí)，4+x²=（4-x）²+（6-x）²+（4-x）²+16，
解得x₁=10（不合題意，舍去），x₂=4，
綜上，當(dāng)x=

4

3

或x=4時(shí)，△PQW為直角三角形．

（3）①當(dāng)0≤x≤4，即M從D到A運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN≥AN，AN=6-x，
故只有當(dāng)x=4時(shí)，MN的值最小，MN²的值也最小，此時(shí)MN=2，MN²=4，（10分）
②當(dāng)4＜x≤6時(shí)，MN²=AM²+AN²=（x-4）²+（6-x）²，
=2（x-5）²+2，
當(dāng)x=5時(shí)，MN²取得最小值2，
∴當(dāng)x=5時(shí)，MN²的值最小，此時(shí)MN²=2．

點(diǎn)評(píng)：此題涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理的逆定理，三角形中位線定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，難度較大，綜合性較強(qiáng)，利于學(xué)生系統(tǒng)地掌握所學(xué)知識(shí)．