Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，點D在BC所在的直線上運動，作∠ADE=45°（A，D，E按逆時針方向）．如圖，若點D在線段BC上運動，DE交AC于E．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）若點D的運動速度為1個單位長度每秒時，設(shè)y=AD²，點D的運動時間為t，求y與t的函數(shù)關(guān)系，并求當(dāng)△ADE是等腰三角形時AE的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=45°；由三角形外角的性質(zhì)得到∠2+∠ADE=∠1+∠B，即∠2+45°=∠1+45°，故∠1=∠2；所以由“兩角法”判定這兩個三角形相似；
（2）如圖，過點A作AF⊥BC于點F．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)易求AF=BF=5

2

，則AD²=DF²+AF²．把相關(guān)線段的長度代入即可求得y與t的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)△ADE是等腰三角形時，需要分AD=AE、AD=DE、AE=DE三種情況進行討論．

解答：解：（1）如圖，∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
又∵∠2+∠ADE=∠1+∠B，即∠2+45°=∠1+45°，
∴∠1=∠2，
∴△ABD∽△DCE；

（2）如圖，過點A作AF⊥BC于點F．
易求AF=BF=5

2

，則AD²=DF²+AF²．
所以，根據(jù)題意，得到：
y=（5

2

-t）²+50，即y=t²-10

2

t+100（0≤t≤10

2

）．
當(dāng)△ADE是等腰三角形時，分三種情況：
①當(dāng)AD=AE時，∠ADE=∠AED=45°時，得到∠DAE=90°，點D、E分別與B、C重合，則AE=AC=10．
②當(dāng)AD=DE時，由①知△ABD∽△DCE，
又∵AD=DE，知△ABD≌△DCE．
∴AB=CD=10，∴BD=CE=10

2

-10，
∴AE=AC-CE=20-10

2

．
③當(dāng)AE=DE時，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，
故∠ADC=∠AED=90°．
∴DE=AE=

1

2

AC=5．
綜上所述，當(dāng)AE的長度為10、20-10

2

、5時，△ADE是等腰三角形．

點評：考查相似三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形和全等三角形的轉(zhuǎn)化．分情況討論等腰三角形的可能性．