Question

（2013•義烏市）如圖1所示，已知y=

6

x

（x＞0）圖象上一點(diǎn)P，PA⊥x軸于點(diǎn)A（a，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，b）（b＞0），動(dòng)點(diǎn)M是y軸正半軸上B點(diǎn)上方的點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N在射線AP上，過點(diǎn)B作AB的垂線，交射線AP于點(diǎn)D，交直線MN于點(diǎn)Q連接AQ，取AQ的中點(diǎn)為C．
（1）如圖2，連接BP，求△PAB的面積；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在線段BD上時(shí)，若四邊形BQNC是菱形，面積為2

3

，求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在射線BD上時(shí)，且a=3，b=1，若以點(diǎn)B，C，N，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求這個(gè)平行四邊形的周長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等即可求出△PAB的面積；
（2）首先求出∠BQC=60°，∠BAQ=30°，然后證明△ABQ≌△ANQ，進(jìn)而求出∠BAO=30°，由S_{四邊形BQNC}=2

3

求出OA=3，于是P點(diǎn)坐標(biāo)求出；
（3）分兩類進(jìn)行討論，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BD上，根據(jù)題干條件求出AQ的長，進(jìn)而求出四邊形的周長，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BD的延長線上，依然根據(jù)題干條件求出AQ的長，再進(jìn)一步求出四邊形的周長．

解答：解：（1）S_△PAB=S_△PAO=

1

2

xy=

1

2

×6=3；

（2）如圖1，∵四邊形BQNC是菱形，
∴BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC，
∵AB⊥BQ，C是AQ的中點(diǎn)，
∴BC=CQ=

1

2

AQ，
∴∠BQC=60°，∠BAQ=30°，
在△ABQ和△ANQ中，

BQ=NQ ∠BQA=∠NQA QA=QA

，
∴△ABQ≌△ANQ，
∴∠BAQ=∠NAQ=30°，
∴∠BAO=30°，
∵S_{四邊形BQNC}=2

3

，
∴BQ=2，
∴AB=

3

BQ=2

3

，
∴OA=

3

2

AB=3，
又∵P點(diǎn)在反比例函數(shù)y=

6

x

的圖象上，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）；

（3）∵OB=1，OA=3，
∴AB=

10

，
∵△AOB∽△DBA，
∴

OB

AB

=

OA

BD

，
∴BD=3

10

，
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BD上，
∵AB⊥BD，C為AQ的中點(diǎn)，
∴BC=

1

2

AQ，
∵四邊形BNQC是平行四邊形，
∴QN=BC，CN=BQ，CN∥BD，
∴

CN

QD

=

AC

AQ

=

1

2

，
∴BQ=CN=

1

3

BD=

10

，
∴AQ=2

5

，
∴C_{四邊形BQNC}=2

10

+2

5

；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在射線BD的延長線上，
∵AB⊥BD，C為AQ的中點(diǎn)，
∴BC=CQ=

1

2

AQ，
∴平行四邊形BNQC是菱形，BN=CQ，BN∥CQ，
∴

BD

QD

=

BN

AQ

=

1

2

，
∴BQ=3BD=9

10

，
∴AQ=

AB2+BQ2

=

( 10 )2+(9 10 )2

=2

205

，
∴C_{四邊形BNQC}=2AQ=4

205

．

點(diǎn)評：本題主要考查反比例函數(shù)綜合題的知識(shí)，此題涉及的知識(shí)有全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)以及菱形等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．