Question

如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠BAD=60°，AC為對角線．將△ACD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AC′D′，連接DC′．
（1）求證：△ADC≌△ADC′．
（2）求在旋轉(zhuǎn)過程中線段CD掃過圖形的面積．（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的不變性可以得到相等的線段和相等的角，從而為證明全等提供必要的條件；
（2）計算旋轉(zhuǎn)的角度可以得到旋轉(zhuǎn)角，代入扇形面積公式計算即可．

解答：解：（1）由旋轉(zhuǎn)可知：AC=AC′，∠CAC′=60°．
在菱形ABCD中，∠BAD=60°
∴∠DAC=

1

2

∠DAB=30°，
∴∠DAC=∠DAC′．
又∵AC=AC′，AD=AD
∴△ADC≌△ADC′；

（2）連接BD交AC于點O，
則BD⊥AC，AC=2AO．
在Rt△AOD中，∠DAO=30°，AD=6，
∴AO=3

3

．
∴AC=2AO=6

3

∴S扇形ACC′=

60×π×(6 3 )2

360

=18π．
∵S扇形ADD′=

60×π×62

360

=6π，
∴CD掃過圖形的面積為18π-6π=12π．

點評：本題考查了全等三角形的判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是牢記旋轉(zhuǎn)不變量．