Question

（2013•紹興）拋物線y=（x-3）（x+1）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為頂點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)B及點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）連結(jié)BD，CD，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)E．
①若線段BD上一點(diǎn)P，使∠DCP=∠BDE，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
②若拋物線上一點(diǎn)M，作MN⊥CD，交直線CD于點(diǎn)N，使∠CMN=∠BDE，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）解方程（x-3）（x+1）=0，求出x=3或-1，根據(jù)拋物線y=（x-3）（x+1）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），確定點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）；將y=（x-3）（x+1）配方，寫成頂點(diǎn)式為y=x²-2x-3=（x-1）²-4，即可確定頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)拋物線y=（x-3）（x+1），得到點(diǎn)C、點(diǎn)E的坐標(biāo)．連接BC，過點(diǎn)C作CH⊥DE于H，由勾股定理得出CD=

2

，CB=3

2

，證明△BCD為直角三角形．分別延長PC、DC，與x軸相交于點(diǎn)Q，R．根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△BCD∽△QOC，則

OC

OQ

=

CD

CB

=

1

3

，得出Q的坐標(biāo)（-9，0），運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線CQ的解析式為y=-

1

3

x-3，直線BD的解析式為y=2x-6，解方程組

y=- 1 3 x-3 y=2x-6

，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②分兩種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M在對稱軸右側(cè)時．若點(diǎn)N在射線CD上，如備用圖1，延長MN交y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G，先證明△MCN∽△DBE，由相似三角形對應(yīng)邊成比例得出MN=2CN．設(shè)CN=a，再證明△CNF，△MGF均為等腰直角三角形，然后用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，將其代入拋物線y=（x-3）（x+1），求出a的值，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；若點(diǎn)N在射線DC上，同理可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M在對稱軸左側(cè)時．由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠MCN＞45°，而拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)K，都有∠KCN＜45°，所以點(diǎn)M不存在．

解答：解：（1）∵拋物線y=（x-3）（x+1）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），
∴當(dāng)y=0時，（x-3）（x+1）=0，
解得x=3或-1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．
∵y=（x-3）（x+1）=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4）；

（2）①如右圖．
∵拋物線y=（x-3）（x+1）=x²-2x-3與與y軸交于點(diǎn)C，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）．
∵對稱軸為直線x=1，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）．
連接BC，過點(diǎn)C作CH⊥DE于H，則H點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-3），
∴CH=DH=1，
∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，
∴CD=

2

，CB=3

2

，△BCD為直角三角形．
分別延長PC、DC，與x軸相交于點(diǎn)Q，R．
∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，
∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，
∴∠CDB=∠QCO，
∴△BCD∽△QOC，
∴

OC

OQ

=

CD

CB

=

1

3

，
∴OQ=3OC=9，即Q（-9，0）．
∴直線CQ的解析式為y=-

1

3

x-3，
直線BD的解析式為y=2x-6．
由方程組

y=- 1 3 x-3 y=2x-6

，解得

x= 9 7 y=- 24 7

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

9

7

，-

24

7

）；

②（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M在對稱軸右側(cè)時．
若點(diǎn)N在射線CD上，如備用圖1，延長MN交y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴

CN

MN

=

BE

DE

=

1

2

，
∴MN=2CN．
設(shè)CN=a，則MN=2a．
∵∠CDE=∠DCF=45°，
∴△CNF，△MGF均為等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=

2

a，
∴MF=MN+NF=3a，
∴MG=FG=

3 2

2

a，
∴CG=FG-FC=

2

2

a，
∴M（

3 2

2

a，-3+

2

2

a）．
代入拋物線y=（x-3）（x+1），解得a=

7 2

9

，
∴M（

7

3

，-

20

9

）；
若點(diǎn)N在射線DC上，如備用圖2，MN交y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴

CN

MN

=

BE

DE

=

1

2

，
∴MN=2CN．
設(shè)CN=a，則MN=2a．
∵∠CDE=45°，
∴△CNF，△MGF均為等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=

2

a，
∴MF=MN-NF=a，
∴MG=FG=

2

2

a，
∴CG=FG+FC=

3 2

2

a，
∴M（

2

2

a，-3+

3 2

2

a）．
代入拋物線y=（x-3）（x+1），解得a=5

2

，
∴M（5，12）；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M在對稱軸左側(cè)時．
∵∠CMN=∠BDE＜45°，
∴∠MCN＞45°，
而拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)K，都有∠KCN＜45°，
∴點(diǎn)M不存在．
綜上可知，點(diǎn)M坐標(biāo)為（

7

3

，-

20

9

）或（5，12）．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．（2）中第②問進(jìn)行分類討論及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．