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        1. 【題目】已知等腰RtABC和等腰RtAED中,ACB=AED=90°,且AD=AC

          1)發(fā)現(xiàn):如圖1,當點EAB上且點C和點D重合時,若點M、N分別是DB、EC的中點,則MNEC的位置關系是 ,MNEC的數(shù)量關系是

          2)探究:若把(1)小題中的AED繞點A順時針旋轉45°得到的圖2,連接BDEC,并連接DBEC的中點M、N,則MNEC的位置關系和數(shù)量關系仍然能成立嗎?若成立,請給予證明,若不成立,請說明理由.

          3)若把(1)小題中的AED繞點A逆時針旋轉45°得到的圖3,連接BDEC,并連接DB、EC的中點MN,則MNEC的位置關系和數(shù)量關系仍然能成立嗎?若成立,請給予證明,若不成立,請說明理由.

          【答案】1MNEC,MN=EC;2)成立,理由見解析;(3)成立,理由見解析

          【解析】

          試題分析:1)根據(jù)中位線定理,結合等腰直角三角形性質即可直接得出結論;

          2)連接EM并延長交BCF,證明EDM≌△FBM,運用線段的等量代換即可求解;

          3)延長EDBC于點F,連接AF、MF,結合矩形的性質和等腰直角三角形性質,合理運用角的等量代換即可求解.

          解:(1MNECMN=EC;

          由等腰RtABC和等腰RtAED中,ACB=AED=90°,

          可知,AE=BE=EC,DEAB,

          M、N分別是DBEC的中點,

          MNAB,且MN=BE

          MNEC,MN=EC;

          2)如圖2

          連接EM并延長交BCF,

          ∵∠AED=ACB=90°

          DEBC,

          ∴∠DEM=AFMEDM=MBF,

          BM=MD,

          EDMFBM中,

          ,

          ∴△EDM≌△FBM,

          BF=DE=AE,EM=FM,

          MN=FC=BC﹣BF=AC﹣AF=EC,

          MNEC;

          3)如圖3

          延長EDBC于點F,連接AF、MF,則AF為矩形ACFE對角線,所以必經(jīng)過EC的中點NAN=NF=EN=NC

          RtBDF中,MBD的中點,B=45°,

          FD=FB,

          FMAB,

          MN=NA=NF=NC,

          MN=EC

          ∴∠NAM=AMN,NAC=NCA,

          ∴∠MNF=NAM+AMN=2NAMFNC=NAC+NCA=2NAC,

          ∴∠MNC=MNF+FNC=2NAM+2NAC=2NAM+NAC=2DAC=90°,

          ∴∠MNC=90°,

          MNFCMN=EC

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