Question

如圖，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過點M（1，-2）、N（-1，6）．把Rt△ABC放在坐標(biāo)系內(nèi)，其中∠CAB=90°，點A、B的坐標(biāo)分別為（1，0）、（4，0），BC=5．將△ABC沿x軸向右平移，當(dāng)點C落在拋物線上時，則△ABC平移的距離為

 

．若把△ABC沿著y軸的負(fù)方向平移距離為

 

，能使得BC所在直線與拋物線只有一個交點．

Answer 1

分析：把M，N的坐標(biāo)代入y=x²+bx+c即可求得拋物線解析式，易求得AB長，利用勾股定理即可求得AC長，那么把AC作為拋物線上點的縱坐標(biāo)代入可求得橫坐標(biāo)，減去點A的橫坐標(biāo)即為平移的距離；易求得BC的解析式，設(shè)出平移后的解析式，與二次函數(shù)組成方程組，整理后讓判別式為0即可得到平移的距離．

解答：解：把M、N的坐標(biāo)代入y=x²+bx+c，得：b+c=-3，c-b=5，解得b=-4，c=1，
∴函數(shù)解析式為：y=x²-4x+1．
∵AB=4-1=3，BC=5，
∴AC=4，
∴C（1，4），
∴4=x²-4x+1，
解得x=2+

7

或x=2-

7

（舍），2+

7

-1=1+

7

，
∴△ABC向右平移了（1+

7

）個單位；
設(shè)BC的解析式為y=kx+b，
則4k+b=0，k+b=4，
解得k=-

4

3

，b=

16

3

，
∴y=-

4

3

x+

16

3

，
設(shè)向上平移m個單位，則y=-

4

3

x+

16

3

+m，那么

y=x2-4x+1 y=- 4 3 x+ 16 3 +m

∴x²-4x+1=-

4

3

x+

16

3

+m，
∴x²-

8

3

x+（-

13

3

-m）=0，
當(dāng)△=0時，
（

8

3

）²-4×（-m-

13

3

）=0，
解得m=-

55

9

，
∴應(yīng)向上平移

55

9

個單位．

點評：左右平移，點的縱坐標(biāo)不變；拋物線與直線只有一個交點，拋物線解析式與直線解析式整理為一元二次方程后，根的判別式為0．