Question

已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c與y軸交于點(diǎn)A（0，3），與x軸交于（1，0）（5，0）兩點(diǎn)，若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)E，再到達(dá)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上某點(diǎn)F，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，則使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)分別是：E______，F(xiàn)______．

Answer 1

如圖，∵拋物線(xiàn)與x軸交于（1，0）（5，0）兩點(diǎn)，
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=

1+5

2

=3，
∴點(diǎn)A（0，3）關(guān)于直線(xiàn)x=3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′為（6，3），
又∵OA的中點(diǎn)M為（0，

3

2

），
∴點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′為（0，-

3

2

），
連接A′M′與x軸的交點(diǎn)、與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)E、F，
設(shè)直線(xiàn)A′M′的解析式為y=kx+b，
則

6k+b=3 b=- 3 2

，
解得

k= 3 4 b=- 3 2

，
所以，直線(xiàn)A′M′的解析式為y=

3

4

x-

3

2

，
令y=0，則

3

4

x-

3

2

=0，
解得x=2，
令x=3，則y=

3

4

×3-

3

2

=

3

4

，
所以，點(diǎn)E（2，0），F(xiàn)（3，

3

4

）．
故答案為：E（2，0）；（3，

3

4

）．