Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y₁=-x上一點(diǎn)A（-1，1），過點(diǎn)A作AB⊥x軸于B．在圖中畫圖探究：將一把三角尺的直角頂點(diǎn)P放在線段AO上滑行，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一邊與y軸相交于點(diǎn)Q．

（1）判斷線段PQ與線段PB的數(shù)量關(guān)系，就點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到圖1所示位置時(shí)證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上滑行時(shí)，△POQ是否可能成為等腰三角形，如果可能，求出所有能使△POQ成為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不可能，請說明理由；
（3）猜想OB、OQ與OP之間的數(shù)量關(guān)系：

 

．

Answer 1

分析：（1）PQ=PC，過點(diǎn)P作x軸，y軸的垂線PC，PD，證明△PCB≌△PDQ即可；
（2）①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，PQ=QO，△POQ是等腰三角形，此時(shí)P（-1，1）；
②當(dāng)點(diǎn)Q在y軸負(fù)半軸上，且OP=OQ時(shí)，△POQ是等腰三角形，即可求得ON的長，得到P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)（2）中，三條線段的大小關(guān)系即可猜想．

解答：解：（1）PQ=PB．
過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，PD⊥y軸于點(diǎn)D．
∵點(diǎn)P在直線y₁=-x上，
∴PC=PD．
∵∠PCO=∠COD=∠ODP=90°，
∴∠CPD=90°
又∵∠BPQ=90°，
∴∠BPC=∠QPD，（1分）
∵∠PCB=∠PDQ=90°，
∴△PCB≌△PDQ
∴PB=PQ（2分）

（2）△POQ可能成為等腰三角形、設(shè)P（x，x）
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，PQ=QO，△POQ是等腰三角形，此時(shí)P（1，1）（3分）
②當(dāng)點(diǎn)Q在y軸負(fù)半軸上，且OP=OQ時(shí)，△POQ是等腰三角形（如圖）
此時(shí)，QN=PM=1-x，ON=x，
所以O(shè)Q=QN-ON=1-2x，OP=

2

x，
當(dāng)1-2x=

2

x時(shí)，解得x=

1

2+ 2

，
∴P（-

1

2+ 2

，

1

2+ 2

）（5分）

（3）OB+OQ=

2

OP（6分）
OB-OQ=

2

OP（7分）

點(diǎn)評：本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形的全等，考查了同學(xué)們綜合運(yùn)用所學(xué)知識的能力，是一道綜合性較好的題目．