Question

已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交于BC于 D點(diǎn)，在AD上任取一點(diǎn)P，（A點(diǎn)除外），過P點(diǎn)作EF∥AB，分別交AC、BC于點(diǎn)E、F，作PM∥AC，交AB于點(diǎn)M，連結(jié)ME。
（1）求證：四邊形AEPM為菱形；
（2）當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，菱形AEPM的面積為四邊形EFBM面積的一半。

Answer 1

（1）見解析（2）P為EF中點(diǎn)時(shí)解析:
（1）證明：∵EF∥AB. PM∥AC。
∴AEPM為平行四邊形。
∵AB=AC.AD平分∠CAB.
∴∠CAD=∠BAD.AD⊥BC.
又∵∠BAD=∠EPA.
∴∠CAD=∠EPA.∴EA=EP.
∴AEPM為菱形。
（2）解：當(dāng)P為EF中點(diǎn)時(shí)。S_菱形AEPM=S_{四邊形EFBM.}
∵四邊形AEPM為菱形。
∴AD⊥EM.
又∵AD⊥BC.
∴EM∥BC
又∵EF∥AB.
∴四邊形EFBM為平行四邊形。
作EN⊥AB于點(diǎn)N。
               ∴S_菱形AEPM=EP×EN=EF×EN=S _EMBF.
（1）先證明AEPM為平行四邊形，再證得EA=EP最后得出結(jié)論
（2）設(shè)P為EF中點(diǎn)，進(jìn)行求證