Question

【題目】如圖，是拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（1，n），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B（4，0），直線y2=mx+d（m≠0）與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，下列結(jié)論：

①3a+b=0，②方程ax2+bx+c+1=n有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③b2=4a（c﹣n），④當(dāng)1＜x＜4時(shí)，有y2＞y1，⑤ax2+bx≤a+b，其中正確的結(jié)論是____（只填寫序號）．

Answer 1

【答案】③⑤．

【解析】

利用拋物線的對稱軸，可對①進(jìn)行判斷；結(jié)合圖象可知拋物線與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，可對②進(jìn)行判斷；由拋物線與直線，只有一個(gè)公共點(diǎn)（1，n）,可知相應(yīng)的方程ax2+bx+c=n有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，利用一元二次方程根的判別式可對③進(jìn)行判斷；利用函數(shù)圖象確定函數(shù)y2圖象在y1上方時(shí)所對的x值范圍，可對④進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的最大值可對⑤進(jìn)行判斷.

解：∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，所以①錯(cuò)誤；

∵拋物線的頂點(diǎn)為（1，n），∴拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n﹣1有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴方程ax2+bx+c+1=n有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以②錯(cuò)誤；

∵直線y=n與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)（1，n），∴方程ax2+bx+c=n有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴b2﹣4a（c﹣n）=0，即b2=4a（c﹣n），所以③正確；

∵拋物線與直線y2=mx+d（m≠0）與拋物線交于A（1，n），B（4，0），∴當(dāng)1＜x＜4時(shí)，有y1＞y2，所以④錯(cuò)誤；

∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值最大，最大值為a+b+c，∴ax2+bx+c≤a+b+c，即ax2+bx≤a+b，所以⑤正確．

故答案為：③⑤．