Question

【題目】閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：

萊昂哈德歐拉（LeonhardEuler）是瑞士數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)，公式和定理，下面就是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理：在△ABC中，R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其中外心和內(nèi)心，則OI2＝R2﹣2Rr．

如圖1，⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓，⊙I與AB相切于點(diǎn)F，設(shè)⊙O的半徑為R，⊙I的半徑為r，外心O（三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）與內(nèi)心I（三角形三條角平分線的交點(diǎn)）之間的距離OI＝d，則有d2＝R2﹣2Rr．

下面是該定理的證明過程（部分）：

延長AI交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)I作⊙O的直徑MN，連接DM，AN．

∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI（同弧所對的圓周角相等）．

∴△MDI∽△ANI．

∴，

∴IAID＝IMIN，①

如圖2，在圖1（隱去MD，AN）的基礎(chǔ)上作⊙O的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF．

∵DE是⊙O的直徑，所以∠DBE＝90°．

∵⊙I與AB相切于點(diǎn)F，所以∠AFI＝90°，

∴∠DBE＝∠IFA．

∵∠BAD＝∠E（同弧所對的圓周角相等），

∴△AIF∽△EDB，

∴．

∴IABD＝DEIF②

任務(wù)：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：IM＝R+d，IN＝　　（用含R，d的代數(shù)式表示）；

（2）請判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（3）請觀察式子①和式子②，并利用任務(wù)（1），（2）的結(jié)論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；

（4）應(yīng)用：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6cm, BC=8cm,點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，則OI=　　cm．

Answer 1

【答案】（1）R﹣d；（2）BD＝ID，理由見解析 ；（3）見解析；（4）．

【解析】

（1）由IM+IN=2R可得出結(jié)果；

（2）過點(diǎn)I作⊙O直徑MN，連接AI交⊙O于D，連接MD，BI，BD，證明∠BID＝∠DBI即可；

（3）應(yīng)用（1）（2）的結(jié)論即可；

（4）由題意可知，O為△ABC的外心，求出外接圓和內(nèi)切圓半徑，然后將數(shù)據(jù)直接代入公式計(jì)算即可.

解：（1）∵IM+IN=2R

∴IN=2R-IM=R﹣d

故答案為：R﹣d；

（2）BD＝ID，理由：

如圖3，過點(diǎn)I作⊙O直徑MN，連接AI交⊙O于D，連接MD，BI，BD，

∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心

∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI

∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠DBC+∠CBI

∴∠BID＝∠DBI

∴BD＝ID

（3）由（2）知：BD＝ID

∴IAID＝DEIF

∵DEIF＝IMIN

∴2Rr＝（R+d）（R﹣d）

∴R2﹣d2＝2Rr

∴d2＝R2﹣2Rr

（4）AB=cm

∵O為Rt△ABC斜邊上的中點(diǎn)，

∴O為△ABC的外心，

∴R=AB=5cm，

△ABC的內(nèi)切圓半徑cm

∴cm

故答案為：．