Question

（2012•北京二模）如圖，已知點(diǎn)M（-

3

，2）和拋物線y=

1

3

x2，O為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)．
（1）若直線y=kx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，且與x軸交于點(diǎn)A，求∠MAO的度數(shù)；
（2）在（1）的條件下，將圖中的拋物線向右平移，設(shè)平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)E，與直線AM的一個(gè)交點(diǎn)記作F，當(dāng)EF∥x軸時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線y=kx+3計(jì)算求出k值，從而得到直線解析式，然后求出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，求出AN、MN的長(zhǎng)度，再根據(jù)∠MAN的正切值求解即可；
（2）設(shè)平移后的拋物線頂點(diǎn)為P（h，0），令x=0求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再根據(jù)EF∥x軸得到點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式計(jì)算求出h的值，即可得解．

解答：解：（1）把點(diǎn)M（-

3

，2）代入y=kx+3，
得-

3

k+3=2，即k=

3

3

，
則直線AM是y=

3

3

x+3，
由

3

3

x+3=0，得x=-3

3

，
即點(diǎn)A（-3

3

，0），
過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于N，
在Rt△MAN中，則AN=2

3

，MN=2，
則tan∠MAN=

3

3

，
則∠MAO=∠MAN=30°；

（2）設(shè)平移后的拋物線頂點(diǎn)為P（h，0），其中h＞0，
則解析式變?yōu)閥=

1

3

（x-h）²，
令x=0，得y=

1

3

h²，
所以，點(diǎn)E（0，

1

3

h²），
∵點(diǎn)F在平移后的拋物線上，且EF∥x軸，
∴點(diǎn)F（2h，

1

3

h²），
∵點(diǎn)F還在直線y=

3

3

x+3上，
∴

1

3

h²=

2 3

3

h+3，
整理得，h²-2

3

h-9=0，
解得，h₁=3

3

，h₂=-

3

（舍去），
故所求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，特殊角的三角函數(shù)，二次函數(shù)圖象的幾何變化，（2）利用頂點(diǎn)式形式表示出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．