Question

（2013•徐州）如圖，二次函數(shù)y=

1

2

x²+bx-

3

2

的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，過點(diǎn)P作DP的垂線與y軸交于點(diǎn)E．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)：

（-3，4）

；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AO（點(diǎn)P不與A、O重合）上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段OE的長有最大值，求出這個(gè)最大值；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PED是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式求得其解析式，然后求得點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求得正方形ABCD的邊長，從而求得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)；
（2）PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，從而得到有關(guān)兩個(gè)變量的二次函數(shù)，求最值即可；
（3）分點(diǎn)P位于y軸左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論即可得到重疊部分的面積．

解答：解：（1）（-3，4）；

（2）設(shè)PA=t，OE=l
由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE
∴

4

3-t

=

t

l

∴l(xiāng)=-

1

4

t2+

3

4

t=-

1

4

（t-

3

2

）²+

9

16

∴當(dāng)t=

3

2

時(shí)，l有最大值

9

16

即P為AO中點(diǎn)時(shí)，OE的最大值為

9

16

；

（3）存在．
①點(diǎn)P點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，DE交AB于點(diǎn)G，
P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，0），
∴PA=OP-AO=4-3=1，
由△PAD≌△OEP得OE=PA=1
∴OP=OA+PA=4
∵△ADG∽△OEG
∴AG：GO=AD：OE=4：1
∴AG=

4

5

AO=

12

5

∴重疊部分的面積=

1

2

×4×

12

5

=

24

5

②當(dāng)P點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），
此時(shí)重疊部分的面積為

712

77

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，與二次函數(shù)的最值結(jié)合起來，題目的難度較大．