Question

拋物線y=ax²+2ax+b與直線y=x+1交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于B，AB∥x軸，且S_△ABC=3，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，b）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）P為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，以AP、AC為邊作平行四邊形CAPQ，是否存在P，使得Q點(diǎn)恰好在此拋物線上？若存在，請(qǐng)求出P、Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）AD⊥x軸于D，以O(shè)D為直徑作⊙M，N為⊙M上一動(dòng)點(diǎn)，（不與O、D重合），過(guò)N作AN的垂線交x軸于R點(diǎn)，DN交y軸于點(diǎn)S，當(dāng)N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段OR、OS是否存在確定的數(shù)量關(guān)系寫(xiě)出證明．

Answer 1

解：（1）拋物線對(duì)稱軸為直線x=-=-1，則AB=2，將A（-2，b）代入y=x+1中，得b=-1，
聯(lián)立，得或，由AB=2，S_△ABC=3，
可知（+1）-（-1）=3，解得a=1，
∴y=x²+2x-1．

（2）聯(lián)立，
得A（-2，-1）C（1，2），
設(shè)P（a，0），則Q（3+a，3）
∴（3+a）²+2（3+a）-1=3，
∴a₁=-4-，a₂=-4+，
∴P（-4-，0）或（-4+，0）
∴Q（-1-，3）或（-1+，3）．

（3）∵△AND∽△RON，
∴，
又∵△ONS∽△DNO，
∴=，
∴．
分析：（1）先根據(jù)直線AC的解析式求出A、C的坐標(biāo)，然后代入拋物線中即可求得二次函數(shù)的解析式．
（2）可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)已知的平行四邊形的三點(diǎn)坐標(biāo)表示出Q點(diǎn)坐標(biāo)，已知了Q點(diǎn)在拋物線上，將Q點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）本題可根據(jù)相似三角形求解．連接ON后可得出∠RNO和∠AND同為∠ANO的余角，因此兩角相等，而∠ADN與∠NOR都是90°加上一個(gè)等角（根據(jù)弦切角定理可得）．因此△AND∽△RON，可得出關(guān)于OR、AD、ON、AN的比例關(guān)系式．同理可在相似三角形DON和OSN中得出關(guān)于OS、OD、ON、AN的比例關(guān)系式，將等值替換后可得出OR：OS=AD：OD，即A點(diǎn)縱坐標(biāo)絕對(duì)值與橫坐標(biāo)絕對(duì)值的比為1：2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)和圓的相關(guān)知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．