Question

理解與應(yīng)用
小明在學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)，在北京市義務(wù)教育課程改革實(shí)驗(yàn)教材第17冊(cè)書，第37頁遇到這樣一道題：
如圖1，在△ABC中，P是邊AB上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CP．要使△ACP∽△ABC，還需要補(bǔ)充的一個(gè)條件是

 

，或

 

．
請(qǐng)回答：
（1）小明補(bǔ)充的條件是

 

，或

 

．
（2）請(qǐng)你參考上面的圖形和結(jié)論，探究、解答下面的問題：如圖2，在△ABC中，∠A=60°，AC²=AB²+AB•BC．求∠B的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由∠A是公共角，可得要使△ACP∽△ABC，還需要補(bǔ)充的一個(gè)條件是：∠APC=∠ACB，∠ACP=∠B，或

AP

AC

=

AC

AB

等；
（2）首先延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使BD=BC，易得△ACB∽△ADC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，求得3∠D+60°=180°，則可求得∠D的度數(shù)，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵∠A是公共角，
∴要使△ACP∽△ABC，還需要補(bǔ)充的一個(gè)條件是：∠APC=∠ACB，∠ACP=∠B，或

AP

AC

=

AC

AB

等；

（2）如圖，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使BD=BC，
∵∠A=∠A，AC²=AB²+AB•BC=AB（AB+BC）=AB•（AB+BD）=AB•AD，
∴△ACB∽△ADC，
∴∠ACB=∠D，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠D，
在△ACD中，
∵∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，
∴3∠D+60°=180°，
∴∠D=40°，
∴∠B=80°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．