Question

【題目】如圖1，已知直線y=mx分別與雙曲線y=，y=（x＞0）交于P，Q兩點(diǎn)，且OP=2OQ．

（1）求k的值；

（2）如圖2，若A是雙曲線y=上的動(dòng)點(diǎn)，AB∥x軸，AC∥y軸，分別交雙曲線y=（x＞0）于B，C兩點(diǎn)，連接BC，設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t．

①分別寫出A，B，C的坐標(biāo)，并求△ABC的面積；

②當(dāng)m=2時(shí)，D為直線y=2x上的一點(diǎn)，若以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求A點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）①；②（2，4）或（2，）或（，4）

【解析】

（1）設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2a，2b）．分別代入反比例函數(shù)解析式即可求出k的值；

（2）①用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形的面積公式求解即可；②分兩種情況考慮：（i）當(dāng)AC為邊時(shí)，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可.

（1）設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2a，2b）．

∵P點(diǎn)在雙曲線y=上，Q點(diǎn)在雙曲線y=上，

∴2a2b=8，∴k=ab=2．

（2）①∵A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，AB∥x軸，AC∥y軸，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（t，），C點(diǎn)坐標(biāo)為（t，），B點(diǎn)坐標(biāo)為（，），

∴AC=–=，AB=t–=，

∴S△ABC=ACAB=××=．

②分兩種情況考慮：

（i）當(dāng)AC為邊時(shí)，如圖1所示．

∵四邊形ADBC為平行四邊形，∴AC=BD，AC∥BD，

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），

∴BD=|–|=，即=或=，

解得：t1=2，t2=–2（舍去），t3=2，t4=–2（舍去），

∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，4）或（2，）；

（ii）當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，如圖2所示．

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥CD，∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），

∴CD=|–t|=，即=或=，

解得：t1=，t2=–（舍去），t3=2，t4=–2（舍去），

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（，4）或（2，4）．

綜上所述，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4）或（2，）或（，4）