Question

（2007•遵義）如圖，已知一次函數(shù)的圖象與x軸，y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在AB上以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D在線段AO上以同樣的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間用t（單位：秒）表示．
（1）求AB的長；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ACD與△AOB相似并直接寫出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）△ACD的面積是否有最大值？若有，此時(shí)t為何值；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先容易求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出OA，OB的長度，再利用勾股定理求AB；
（2）先用t分別表示AC，AD的長度，再根據(jù)相似的性質(zhì)可以列出關(guān)于t的方程，解方程就可以求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）用t表示△ACD的面積，然后利用二次函數(shù)求最大值．
解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=3；當(dāng)y=0時(shí)，x=4；
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB==5；

（2）依題意BC=t，AC=5-t，AD=t，
若△ACD∽△ABO相似，
∴，
代入得：
=，
解得：t=，
若△ACD∽△AOB相似，
，
，
解得t=，
故C（，）或（，）；

（3）∵AC=5-t，AD=t，而sin∠A==，
∴AD邊上的高=（5-t），
∴S_△ACD=×AD×（5-t）=（5t-t²），
∴S_△ACD有最大值，此時(shí)t=2.5，
∵S_△ACD=（5t-t²）=-（t-2.5）²+，
∴當(dāng)t=2.5時(shí)，S_△ACD有最大值．
點(diǎn)評(píng)：此題既考查了勾股定理的計(jì)算，也考查了相似三角形的性質(zhì)，還有利用二次函數(shù)求最大值．