Question

如圖，點P是雙曲線上一動點，過點P作x軸、y軸的垂線，分別交x軸、y軸于A、B兩點，交雙曲線y= （0＜k₂＜|k₁|）于E、F兩點．

（1）圖1中，四邊形PEOF的面積S₁=　　　 (用含k₁、k₂的式子表示)；

（2）圖2中，設P點坐標為（－4，3）．

①判斷EF與AB的位置關系，并證明你的結論；

②記，S₂是否有最小值？若有，求出其最小值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

解：（1）；                        

（2）①EF∥AB．                   

證明：如圖，

由題意可得A（4，0），B（0，3），， ．

∴PA=3，PE=，PB=4，PF=．

∴，

∴．       

又∵∠APB=∠EPF．

∴△APB ∽△EPF，∴∠PAB=∠PEF．

∴EF∥AB．     

②S₂沒有最小值，理由如下：

過E作EM⊥y軸于點M，過F作FN⊥x軸于點N，兩線交于點Q．

由上知M（0，），N（，0），Q（，）．   

而S_△EFQ= S_△PEF，

∴S₂＝S_△PEF－S_△OEF＝S_△EFQ－S_△OEF＝S_△EOM＋S_△FON＋S_矩形OMQN

＝

＝

=．                      

當時，S₂的值隨k₂的增大而增大，而0＜k₂＜12．  

∴0＜S₂＜24，s₂沒有最小值．