Question

如圖，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O是內(nèi)切圓，E，F(xiàn)，D分別為切點(diǎn)，則tan∠OBD=（　�。�

• A、

  3

  2

• B、

  2

  3

• C、

  1

  2

• D、

  1

  3

Answer 1

分析：首先根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)和切線(xiàn)長(zhǎng)定理證得四邊形OECD是正方形，那么AC+BC-AB即為2R（⊙O的半徑R）的值，由此可得到OD、CD的值，進(jìn)而可在Rt△OBD中求出∠OBD的正切值．

解答：解：∵BC、AC、AB都是⊙O的切線(xiàn)，
∴CD=CE、AE=AF、BF=BD，且OD⊥BC、OE⊥AC；
易證得四邊形OECD是矩形，由OE=OD可證得四邊形OECD是正方形；
設(shè)OD=OE=CD=R，則：AC+BC-AB=AE+R+BD+R-AF-BF=2R，
即R=

1

2

（AC+BC-AB）=1，
∴BD=BC-CD=3-1=2；
在Rt△OBD中，tan∠OBD=

OD

BD

=

1

2

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的是三角形的外切圓，切線(xiàn)長(zhǎng)定理以及銳角三角形函數(shù)的定義，難度適中．