Question

【題目】在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸的交點為，兩點，與軸交于點，頂點為，其對稱軸與軸交于點.

（1）求二次函數解析式；

（2）連接，，，試判斷的形狀，并說明理由；

（3）點為第三象限內拋物線上一點，的面積記為，求的最大值及此時點的坐標；

（4）在線段上，是否存在點，使為等腰三角形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）為直角三角形，理由見解析；（3）當時，，此時；（4），，.

【解析】

（1）二次函數表達式為：y=a（x+3）（x-1）=a（x2+2x-3），則-3a=-3，解得：a=1，即可求解；
（2）由AD2=AC2+CD2，故△ADC為直角三角形；
（3）.，即可求解；
（4）分AE=EF、AE=AF、AF=EF三種情況分別求解即可．

（1）設，

∵，，，

∴，

∴，

∴二次函數解析式為：.

（2）為直角三角形，理由：

由（1）可知，

過點作軸于，

在中，，，

∴，，

在中，，，

∴，，

∴，且，

∴為直角三角形.

（3）設直線解析式為：，

∵，，

∴，

∴，，

∴.

過點作軸的垂線交于，設，

則.

∵點在第三象限，

∴

，

∴

.

∴當時，，此時.

（4），，.理由如下：

∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，
①當AE=EF時，如下圖，

△AEF為等腰直角三角形，AE=2=EF，
∴點F（-1，2）；
②當AE=AF時，
同理可得：點F（-3，-）；
③當AF=EF時，
同理可得：點F（-2，-1）；
故點F的坐標為：，，.