Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90o，以BC為直徑的半圓⊙O交AC于點D，點E是AB的中點，連接DE并延長，交CB延長線于點F.

(1)判斷直線DF與⊙O的位置關系，并說明理由；

(2)若CF＝8，DF＝4，求⊙O的半徑和AC的長.

Answer 1

【答案】（1）相切，證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接OD，OE，證明△OBE≌△ODE，得到∠ODE＝∠OBE＝90°即OD⊥DE，從而得出結論；

（2）首先設⊙O半徑為x，運用勾股定理得到方程，解方程可得圓的半徑；證明△FBE∽△FDO，得出BE＝，由點E是AB中點，得出AB的長，再由勾股定理得出AC的長．

(1)相切

證明：連接OD，OE

∵點E是AB中點，點O是BC中點

∴OE是△ABC的中位線，

∴OE∥AC

∴∠1＝∠4，∠2＝∠3

∵OC＝OD，

∴∠3＝∠4，

∴∠1＝∠2

∵OB＝OD，OE＝OE，

∴△OBE≌△ODE

∴∠ODE＝∠OBE＝90o

∴OD⊥DE，

∴直線DF與⊙O相切.

(2)設⊙O半徑為x，則OD＝x，OF＝8－x

在Rt△FOD中，，

∴，

∴x＝3

∴⊙O半徑為3

∵∠FBE＝∠FDO＝90°，∠F＝∠F，

∴△FBE∽△FDO，

∴，

∵BF＝FC－BC＝2，OD＝3，DF＝4，

∴BE＝，

∵點E是AB中點，

∴AB＝2BE＝3

在Rt△ABC中，AC＝＝