Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=AC，射線BP從BA所在位置開始繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°）

（1）當∠BAC=60°時，將BP旋轉(zhuǎn)到圖2位置，點D在射線BP上．若∠CDP=120°，則∠ACD__∠ABD（填“＞”、“=”、“＜”），線段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系是_____；

（2）當∠BAC=120°時，將BP旋轉(zhuǎn)到圖3位置，點D在射線BP上，若∠CDP=60°，求證：BD﹣CD=AD；

（3）將圖3中的BP繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當30°＜α＜180°時，點D是直線BP上一點（點P不在線段BD上），若∠CDP=120°，請直接寫出線段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系（不必證明）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖2，∵∠CDP=120°，

∴∠CDB=60°，

∵∠BAC=60°，

∴∠CDB=∠BAC=60°，

∴A、B、C、D四點共圓，

∴∠ACD=∠ABD．

在BP上截取BE=CD，連接AE．

在△DCA與△EBA中，

，

∴△DCA≌△EBA（SAS），

∴AD=AE，∠DAC=∠EAB，

∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=60°，

∴∠DAE=60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴DE=AD．

∵BD=BE+DE，

∴BD=CD+AD．

故答案為=，BD=CD+AD；

（2）

解：如圖3，設AC與BD相交于點O，在BP上截取BE=CD，連接AE，過A作AF⊥BD于F．

∵∠CDP=60°，

∴∠CDB=120°．

∵∠CAB=120°，

∴∠CDB=∠CAB，

∵∠DOC=∠AOB，

∴△DOC∽△AOB，

∴∠DCA=∠EBA．

在△DCA與△EBA中，

，

∴△DCA≌△EBA（SAS），

∴AD=AE，∠DAC=∠EAB．

∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=120°，

∴∠DAE=120°，

∴∠ADE=∠AED==30°．

∵在Rt△ADF中，∠ADF=30°，

∴DF=AD，

∴DE=2DF=AD，

∴BD=DE+BE=AD+CD，

∴BD﹣CD=AD；

（3）

解：線段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系為BD+CD=AD.

【解析】（1）如圖2，由∠CDP=120°，根據(jù)鄰補角互補得出∠CDB=60°，那么∠CDB=∠BAC=60°，所以A、B、C、D四點共圓，根據(jù)圓周角定理得出∠ACD=∠ABD；在BP上截取BE=CD，連接AE．利用SAS證明△DCA≌△EBA，得出AD=AE，∠DAC=∠EAB，再證明△ADE是等邊三角形，得到DE=AD，進而得出BD=CD+AD．
（2）如圖3，設AC與BD相交于點O，在BP上截取BE=CD，連接AE，過A作AF⊥BD于F．先由兩角對應相等的兩三角形相似得出△DOC∽△AOB，于是∠DCA=∠EBA．再利用SAS證明△DCA≌△EBA，得出AD=AE，∠DAC=∠EAB．由∠CAB=∠CAE+∠EAB=120°，得出∠DAE=120°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠ADE=∠AED==30°．解Rt△ADF，得到DF=AD，那么DE=2DF=AD，進而得出BD=DE+BE=AD+CD，即BD﹣CD=AD；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得線段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系．
此題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換，涉及知識點有四點共圓問題，圓周角定理，等邊三角形判定，相似三角形性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理和直角三角形性質(zhì)等.