Question

（2012•中山區(qū)一模）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），與y軸分別交于點(diǎn)C（0，-3），其頂點(diǎn)為D，連接BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AC，BD，求證∠ACO=∠CBD．
（3）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M（1，m），是否存在數(shù)m，使得以P、M、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出m的值及P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，-3 ）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式y(tǒng)=ax²+bx+c與，利用待定系數(shù)法求解；
（2）分別計(jì)算△ACO與△DBC的三邊，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似得出△ACO∽△DBC，由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可證明出∠ACO=∠CBD；
（3）分兩種情況：①以BC為對(duì)角線，那么先找出BC的中點(diǎn)，由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，而P在拋物線上，代入拋物線的解析式中，即可求出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)及m的值；②以BC為邊，那么PM必與BC平行，根據(jù)平移的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)及m的值．

解答：解：（1）把點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，-3 ）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

．
所以拋物線的解析式為y=x²-2x-3．

（2）在△ACO中，OA=1，OC=3，AC=

OA2+OC2

=

10

，
在△DBC中，∵C（0，-3），D（1，-4），B（3，0），
∴CD=

2

，BC=

OB2+OC2

=3

2

，BD=2

5

，
∴OA：CD=OC：BC=AC：BD=1：

2

，
∴△ACO∽△DBC，
∴∠ACO=∠CBD；

（3）假設(shè)存在數(shù)m，使得以P、M、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分兩種情況：
①以BC為對(duì)角線，則BC的中點(diǎn)為（1.5，-1.5），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）；
②以BC為邊，那么PM必與BC平行，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，5）或（4，5）．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．