Question

如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（0，4），C（2，0），將矩形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)135⁰，得到矩形EFGH（點(diǎn)E與O重合）.

（1）若GH交y軸于點(diǎn)M，則∠FOM＝      ，OM=        ；
（2）矩形EFGH沿y軸向上平移t個(gè)單位.
①直線GH與x軸交于點(diǎn)D，若AD∥BO，求t的值；
②若矩形EFHG與矩形OABC重疊部分的面積為S個(gè)平方單位，試求當(dāng)0<t≤時(shí)，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

Answer 1

（1）45⁰，；（2）①－2；②.

試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠AOF＝135⁰，∴∠FOM＝45⁰，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠OHM＝45⁰，OH=OC=2，∴OM=；（2）①由矩形的性質(zhì)和已知AD∥BO，可得四邊形ABOD是平行四邊形，從而DO=AB=2，又由△DOI是等腰直角三角形可得OI=OD=2，從而由平移的性質(zhì)可求得t=IM=OM－OI=－2；②首先確定當(dāng)0<t≤時(shí)，矩形EFGH沿y軸向上平移過程中關(guān)鍵點(diǎn)的位置，分0<t≤2，2<t≤， <t≤三種情況求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
試題解析：（1）45⁰；.
（2）①如圖1，設(shè)直線HG與y軸交于點(diǎn)I，
∵四邊形OABC是矩形，∴AB∥DO，AB=OC.
∵C（2，0），∴AB=OC=2.
又∵AD∥BO， ∴四邊形ABOD是平行四邊形. ∴DO=AB=2.
由（1）易得，△DOI是等腰直角三角形，∴OI=OD=2.
∴t=IM=OM－OI=－2.

②如圖2，

過點(diǎn)F，G分別作x軸，y軸的垂線，垂足為R，T，連接OC. 則
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，OF=OA=4，∠FOR＝45⁰，
∴OR=RF=，F(xiàn)（，－）.
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理，得OG=，
設(shè)TG=MT=x，則OT=OM＋MT=.
在Rt△OTG中，由勾股定理，得，解得x=. ∴G（，－）.
∴用待定系數(shù)法求得直線FG的解析式為.
當(dāng)x=2時(shí)，.
∴當(dāng)t=時(shí)，就是GF平移到過點(diǎn)C時(shí)的位置（如圖5）.
∴當(dāng)0<t≤時(shí)，幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)如圖3，4，5所示：
如圖3 ，t=OE=OC=2，此時(shí)，矩形EFGH沿y軸向上平移過程中邊EF經(jīng)過點(diǎn)C；

如圖4，t=OE=OM=，此時(shí)，矩形EFGH沿y軸向上平移過程中邊HG經(jīng)過點(diǎn)O；

如圖5，t=OE=，此時(shí)，矩形EFGH沿y軸向上平移過程中邊FG經(jīng)過點(diǎn)C.

∴（Ⅰ）當(dāng)0<t≤2時(shí)，矩形EFHG與矩形OABC重疊部分的面積為△OCS的面積（如圖6）.此時(shí)，OE="OS=" t， ∴.

（Ⅱ）當(dāng)2<t≤時(shí)，矩形EFHG與矩形OABC重疊部分的面積為直角梯形OEPC的面積（如圖7）.此時(shí)OE= t，，OC=2.

由E（0，t），∠FFO=45⁰，用用待定系數(shù)法求得直線EP的解析式為.
當(dāng)x=2時(shí)，. ∴CP=. ∴.
（Ⅲ）當(dāng)<t≤時(shí)，矩形EFHG與矩形OABC重疊部分的面積為五邊形EQCUV的面積（如圖8），

它等于直角梯形EQCO的面積減去直角三角形VOU的的面積.
此時(shí)，OE= t，，OC=2，CQ= ，OU="OV=" t－.
∴.
綜上所述，當(dāng)0<t≤時(shí)，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為.