Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A（0，4），B（3，4），C（6，0），動點P從點A出發(fā)以1個單位/秒的速度在y軸上向下運動，動點Q同時從點C出發(fā)以2個單位/秒的速度在x軸上向左運動，過點P作RP⊥y軸，交OB于R，連接RQ．當(dāng)點P與點O重合時，兩動點均停止運動．設(shè)運動的時間為t秒．
（1）若t=1，求點R的坐標(biāo)；
（2）在線段OB上是否存在點R，使△ORQ與△ABC相似？若存在，請求出所有滿足要求的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t=1時，RP⊥y軸，可利用解直角三角形求出R的縱橫坐標(biāo)．
（2）△ORQ與△ABC相似，由于運動時間t的不同，三角形存在不同的相似，所以應(yīng)分情況討論．
即①點Q從點C運動到點O（不與O重合）時，因為角不相等，所以此種情況不成立．
②當(dāng)t=3時，點Q與O重合時，△ORQ變成線段OR，故不可能與△ABC相似．
③如圖，當(dāng)3＜t≤4時，即點Q從原點O向左運動時，可得到兩個數(shù)值，但兩個數(shù)值均滿足題意，所以都成立．

解答：解：（1）∵A（0，4），B（3，4），
∴AB⊥y軸，AB=3．
∵RP⊥y軸，
∴∠OPR=∠OAB=90°．
又∠POR=∠AOB，
∴△OPR∽△OAB，
∴

OP

OA

=

PR

AB

．
當(dāng)t=1時，AP=1，OP=3，
∴

3

4

=

PR

3

，
∴PR=

9

4

．
∵R的縱坐標(biāo)等于OP的長，
∴點R的坐標(biāo)為（

9

4

，3）．

（2）如圖，過點B作BD⊥x軸于點D，則D（3，0）
在△BOC中，
∵OD=DC=3，且BD⊥OC，
∴OB=BC．
∵△OPR∽△OAB，
∴

OR

OB

=

OP

OA

，
∵在Rt△OBD中，OB=

OD2+BD2

=5
∴

OR

5

=

4-t

4

，
∴OR=

20-5t

4

．
由題意得，AP=t，CQ=2t（0≤t≤4）．
分三種情況討論：
①當(dāng)0≤t＜3時，即點Q從點C運動到點O（不與O重合）時，
∵OB=BC
∴∠BOC=∠BCO＞∠BCA
∵AB∥x軸，
∴∠BOC=∠ABO，∠BAC=∠ACO，
∵∠ABO＜ABC，∠BCO＞∠ACO，
∴∠BOC＜ABC，∠BOC＞∠BAC，
∴當(dāng)0≤t＜3時，△ORQ與△ABC不可能相似．
②當(dāng)t=3時，點Q與O重合時，△ORQ變成線段OR，故不可能與△ABC相似．
③如圖，當(dāng)3＜t≤4時，即點Q從原點O向左運動時，
∵BD∥y軸
∴∠AOB=∠OBD
∵OB=BC，BD⊥OC
∴∠OBD=∠DBC
∴∠QOR=90°+∠AOB=90°+∠DBC=∠ABC                         
當(dāng)

OQ

OR

=

AB

BC

時，
∵OQ=2t-6，
∴

2t-6

20-5t 4

=

3

5

，
∴t=

36

11

．
當(dāng)

OQ

OR

=

BC

AB

時，
同理可求得t=

172

49

．
經(jīng)檢驗t=

36

11

和t=

172

49

均在3＜t≤4內(nèi)，
∴所有滿足要求的t的值為

36

11

和

172

49

．

點評：熟練掌握相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用，會對問題進(jìn)行綜合分析并分情況討論．